【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c.將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°,構(gòu)成的圖形如圖所示.該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”,也被稱作“趙爽弦圖”,它是我國最早對(duì)勾股定理證明的記載,也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù).
(1)請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理;
(2)請(qǐng)利用這個(gè)圖形說明a2+b2≥2ab,并說明等號(hào)成立的條件;
(3)請(qǐng)根據(jù)(2)的結(jié)論解決下面的問題:長(zhǎng)為x,寬為y的長(zhǎng)方形,其周長(zhǎng)為8,求當(dāng)x,y取何值時(shí),該長(zhǎng)方形的面積最大?最大面積是多少?
【答案】(1)詳見解析;(2)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立;(3)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí),長(zhǎng)方形的面積最大,最大面積是4.
【解析】
1)根據(jù)題意,我們可在圖中找等量關(guān)系,由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積,列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式.
(2)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可.
(3)利用(2)中的結(jié)論求得當(dāng)x,y取何值時(shí),該矩形面積最大以及其最大面積.
解:(1)因?yàn)檫呴L(zhǎng)為c的正方形面積為c2,
它也可以看成是由4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為(a– b)的小正方形組成的,
它的面積為4×ab+(a– b)2=a2+b2,
所以c2=a2+b2.
(2)∵(a– b)2≥0,
∴a2+b2–2ab≥0,∴a2+b2≥2ab,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
(3)依題意得2(x+y)=8,∴x+y=4,長(zhǎng)方形的面積為xy,
由(2)的結(jié)論知2xy≤x2+y2=(x+y)2–2xy,
∴4xy≤(x+y)2,∴xy≤4,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí),長(zhǎng)方形的面積最大,最大面積是4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,E為AC的中點(diǎn),AD平分∠BAC,BA:CA=2:3,AD與BE相交于點(diǎn)O,若△OAE的面積比△BOD的面積大1,則△ABC的面積是( 。
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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【題目】直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),以點(diǎn)A為圓心畫圓,點(diǎn)M(4,4)在⊙A上,直線y=﹣x+b過點(diǎn)M,分別交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn).
(1)①填空:⊙A的半徑為 ,b= .(不需寫解答過程)
②判斷直線BC與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)若EF切⊙A于點(diǎn)F分別交AB和BC于G、E,且FE⊥BC,求的值.
(3)若點(diǎn)P在⊙A上,點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)且在點(diǎn)C下方,當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時(shí),直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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【題目】近年來,新能源汽車以其舒適環(huán)保、節(jié)能經(jīng)濟(jì)的優(yōu)勢(shì)受到熱捧,隨之而來的就是新能汽車銷量的急速增加,當(dāng)前市場(chǎng)上新能漂汽車從動(dòng)力上分純電動(dòng)和混合動(dòng)力兩種,從用途上又分為乘用式和商用式兩種,據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會(huì)提供的信息,2017年全年新能源乘用車的累計(jì)銷量為57.9萬輛,其中,純電動(dòng)乘用車銷量為46.8萬輛,混合動(dòng)力乘用車銷量為11.1萬輛; 2017年全年新能源商用車的累計(jì)銷量為19.8萬輛,其中,純電動(dòng)商用車銷量為18.4萬輛,混合動(dòng)力商用車銷量為1.4萬輛,請(qǐng)根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)表表示我國2017年新能源汽車各類車型銷量情況;
(2)小穎根據(jù)上述信息,計(jì)算出2017年我國新能源各類車型總銷量為77.7萬輛,并繪制了“2017年我國新能源汽車四類車型銷量比例”的扇形統(tǒng)計(jì)圖,如圖1,請(qǐng)你將該圖補(bǔ)充完整(其中的百分?jǐn)?shù)精確到0.1%);
(3)2017年我國新能源乘用車銷量最高的十個(gè)城市排名情況如圖2,請(qǐng)根據(jù)圖2中信息寫出這些城市新能源乘用車銷售情況的特點(diǎn)(寫出一條即可);
(4)數(shù)據(jù)顯示,2018年1~3月的新能源乘用車總銷量排行榜上位居前四的廠家是比亞迪、北汽、上汽、江準(zhǔn),參加社會(huì)實(shí)踐的大學(xué)生小王想對(duì)其中兩個(gè)廠家進(jìn)行深入調(diào)研,他將四個(gè)完全相同的乒乓球進(jìn)行編號(hào)(用“1,2,3,4”依次對(duì)應(yīng)上述四個(gè)廠家),并將乒乓球放入不透明的袋子中攪勻,從中一次拿出兩個(gè)乒乓球,根據(jù)乒乓球上的編號(hào)決定要調(diào)研的廠家.求小王恰好調(diào)研“比亞迪”和“江淮”這兩個(gè)廠家的概率.
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【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).
(1)觀察猜想
圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;
(2)探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值.
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【題目】如圖,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,AC⊥y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D,使AD=AB,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E,使AE=AC,直線DE分別交x軸,y軸于點(diǎn)P,Q,當(dāng)QE:DP=9:25時(shí),圖中的陰影部分的面積等于___.
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【題目】近年來,共享單車服務(wù)的推出(如圖1),極大的方便了城市公民綠色出行,圖2是某品牌某型號(hào)單車的車架新投放時(shí)的示意圖(車輪半徑約為30cm),其中BC∥直線l,∠BCE=71°,CE=54cm.
(1)求單車車座E到地面的高度;(結(jié)果精確到1cm)
(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)車座E到CB的距離調(diào)整至等于人體胯高(腿長(zhǎng))的0.85時(shí),坐騎比較舒適.小明的胯高為70cm,現(xiàn)將車座E調(diào)整至座椅舒適高度位置E′,求EE′的長(zhǎng).(結(jié)果精確到0.1cm)
(參考數(shù)據(jù):sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果一條線段將一個(gè)三角形分成2個(gè)小等腰三角形,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“好線”:如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)小等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的“好好線”.
理解:
(1)如圖1,在中,,點(diǎn)在邊上,且,求的大小;
(2)在圖1中過點(diǎn)作一條線段,使,是的“好好線”;
在圖2中畫出頂角為的等腰三角形的“好好線”,并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)(畫出一種即可);
應(yīng)用:
(3)在中,,和是的“好好線”,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上,且,,請(qǐng)求出的度數(shù).
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【題目】如圖,在菱形紙片ABCD中, ,將菱形紙片翻折,使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)分別在邊上,則的值為______ .
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