【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB═2,AD=,PBC邊上的一點(diǎn),且BP=2CP.

(1)用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點(diǎn)E,連接AE、BE(保留作圖痕跡,不寫作法);

(2)如圖②,在(1)的條體下,判斷EB是否平分∠AEC,并說明理由;

(3)如圖③,在(2)的條件下,連接EP并廷長交AB的廷長線于點(diǎn)F,連接AP,不添加輔助線,PFB能否由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與PAE組成一個(gè)等腰三角形?如果能,說明理由,并寫出兩種方法(指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和平移距離)

【答案】(1)作圖見解析;(2)EB是平分∠AEC,理由見解析; (3)PFB能由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與△PAE組成一個(gè)等腰三角形,變換的方法為:將△BPF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°和△EPA重合,①沿PF折疊,②沿AE折疊.

【解析】1)根據(jù)作線段的垂直平分線的方法作圖即可得出結(jié)論;

(2)先求出DE=CE=1,進(jìn)而判斷出ADE≌△BCE,得出∠AED=BEC,再用銳角三角函數(shù)求出∠AED,即可得出結(jié)論;

(3)先判斷出AEP≌△FBP,即可得出結(jié)論.

(1)依題意作出圖形如圖①所示

(2)EB是平分∠AEC,理由:

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠C=D=90°,CD=AB=2,BC=AD=,

∵點(diǎn)ECD的中點(diǎn),

DE=CE=CD=1,

ADEBCE中,,

∴△ADE≌△BCE,

∴∠AED=BEC,

RtADE中,AD=,DE=1,

tanAED==

∴∠AED=60°,

∴∠BCE=AED=60°,

∴∠AEB=180°﹣AED﹣BEC=60°=BEC,

BE平分∠AEC;

(3)BP=2CP,BC==,

CP=,BP=

RtCEP中,tanCEP==,

∴∠CEP=30°,

∴∠BEP=30°,

∴∠AEP=90°,

CDAB,

∴∠F=CEP=30°,

RtABP中,tanBAP==

∴∠PAB=30°,

∴∠EAP=30°=F=PAB,

CBAF,

AP=FP,

∴△AEP≌△FBP,

∴△PFB能由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與PAE組成一個(gè)等腰三角形,

變換的方法為:將BPF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°EPA重合,①沿PF折疊,②沿AE折疊.

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