【題目】如圖,拋物線的對稱軸是直線,與軸交于,兩點,與軸交于點,點的坐標為,點為拋物線上的一個動點,過點作軸于點,交直線于點.
(1)求拋物線解析式;
(2)若點在第一象限內,當時,求四邊形的面積;
(3)將繞平面直角坐標系中某點逆時針旋轉,對應點為,,,當中有兩個頂點落在拋物線上時,直接寫出的坐標.
【答案】(1);(2)四邊形的面積為;(3)的坐標為或.
【解析】
(1)拋物線的對稱軸是直線,A在拋物線上,于是列方程即可得到結論.
(2)根據(jù)函數(shù)解析式得到和,求得BC的解析式為,設,得到和,根據(jù)已知條件列方程得到m=5,m=0(舍去),求得、和,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論.
(3)分三種情況:①當點O,C的對應點O1,C1落在拋物線上時,求出C1點坐標,②當點C,B的對應點C1,B1落在拋物線上時,求出C1點坐標,③△BOC繞某點逆時針旋轉后,軸,此時,不會同時在拋物線上,所以的坐標即為①②所求.
(1)∵拋物線的對稱軸為,且過點
解得
(2),對稱軸,
拋物線與軸交于點
設
設,則
.
,(舍)
,,
四邊形
當時,四邊形的面積為
(3)分三種情況:①當點O,C的對應點O1,C1落在拋物線上時,則O1C1//x軸
∵OC=2,拋物線的對稱軸為x=1,
∴點C1的橫坐標為2.
將x=2代人,得y=-2
∴點C1的坐標為(2,-2);
②當點C,B的對應點C1,B1落在拋物線上時,設C1(n,),
∵O1C1//x軸, O1C1=OC=2
∴O1(n-2, ).
∵旋轉后O1B1//y軸, O1B1=OB=4
∴B1(n-2,),將點B1代人拋物線得(,解得n=-2.
∴點C1的坐標為(-2,0);
③△BOC繞某點逆時針旋轉后,軸,此時,不會同時在拋物線上,
∴的坐標為或.
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【題目】如圖,矩形中,點是上一點,,于,連接.
(1)求證:;
(2)在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中四對線段,使每對中較長線段與較短線段長度的差等于線段的長.
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【題目】如圖,直線l:y=﹣m與y軸交于點A,直線a:y=x+m與y軸交于點B,拋物線y=x2+mx的頂點為C,且與x軸左交點為D(其中m>0).
(1)當AB=12時,在拋物線的對稱軸上求一點P使得△BOP的周長最。
(2)當點C在直線l上方時,求點C到直線l距離的最大值;
(3)若把橫坐標、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“整點”.當m=2020時,求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點”的個數(shù).
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,點E為射線DC上一個動點,把△ADE沿直線AE折疊,當點D的對應點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時,則DE的長為_____.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中線,AN為△ABC的外角∠CAM的平分線,CE∥AD,交AN于點E.求證:四邊形ADCE是矩形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線分別交x軸、y軸于點B,C,正方形AOCD的頂點D在第二象限內,E是BC中點,OF⊥DE于點F,連結OE,動點P在AO上從點A向終點O勻速運動,同時,動點Q在直線BC上從某點Q1向終點Q2勻速運動,它們同時到達終點.
(1)求點B的坐標和OE的長;
(2)設點Q2為(m,n),當tan∠EOF時,求點Q2的坐標;
(3)根據(jù)(2)的條件,當點P運動到AO中點時,點Q恰好與點C重合.
①延長AD交直線BC于點Q3,當點Q在線段Q2Q3上時,設Q3Q=s,AP=t,求s關于t的函數(shù)表達式.
②當PQ與△OEF的一邊平行時,求所有滿足條件的AP的長.
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【題目】地下停車場的設計大大緩解了住宅小區(qū)停車難的問題,如圖是龍泉某小區(qū)的地下停車庫坡道入口的設計示意圖,其中,AB⊥BD,∠BAD=18°,C在BD上,BC=0.5m.根據(jù)規(guī)定,地下停車庫坡道入口上方要張貼限高標志,以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛入.小剛認為CD的長就是所限制的高度,而小亮認為應該以CE的長作為限制的高度.小剛和小亮誰說得對?請你判斷并計算出正確的限制高度.(結果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.325)
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【題目】隨著移動終端設備的升級換代,手機已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的一部分,為了解中學生在假期使用手機的情況(選項:(A)和同學親友聊天;(B)學習:(C)購物;(D)游戲;(E)其他),端午節(jié)后某中學在全校范圍內隨機抽取了若干名學生進行調查,得到如下圖表(部分信息未給出):
選項 | 頻數(shù) | 頻率 |
A | ||
B | ||
C | ||
D | ||
E |
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)求本次參與調查的總人數(shù).
(2)___________,___________,___________,并補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若該中學約有800名學生,估計全校學生中利用手機購物或玩游戲的共有多少人?并根據(jù)以上調查結果,就中學生如何合理使用手機給出你的一條建議.
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