Question

如圖，一次函數(shù)y＝－x＋4的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作x軸的垂線l，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB與△OAP外接圓的交點(diǎn)，點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A都不重合．   ⑴寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)        ；

⑵當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△OQB與

△APQ全等？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，

請說明理由．

⑶若點(diǎn)M在直線l上，且∠POM＝90°，記△OAP外接圓和

△OAM外接圓的面積分別是、，求的值．

Answer 1

解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）；

（2）存在．

理由：如圖所示：

∵∠OBA=∠BAP，∴它們是對應(yīng)角，

∴BQ=PA，

將x=0代入y=﹣x+4得：y=4，

∴OB=4，

由（1）可知OA=4，

在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．

∵△BOQ≌△AQP．

∴QA=OB=4，BQ=PA．

∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，

∴PA=4﹣4．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4﹣4）．

（3）如圖所示：

令PA=a，MA=b，△OAP外接圓的圓心為O₁，△OAM的外接圓的圓心為O₂，

∴OP²=OA²+PA²=4²+a²=16+a²，OM²=OA²+MA²=4²+b²=16+b²，

在Rt△POM中，PM²=OP²+OM²=a²+16+b²+16，

又∵PM²=（PA+AM）²=（a+b）²=a²+2ab+b²，

∴ab=16，

∵O₁A²=O₁Q²+QA²=（）²+（）²=a²+4，O₂A²=O₂N²+NA²=（）²+（）²=b²+4，

∴S₁=π×O₁A²=（a²+4）π，S₂=π×O₂A²=（b²+4）π，

∴===×=