【題目】如圖,在等邊三角形ABC右側(cè)作射線CP,∠ACP=0°<<60°),點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)DBDCP于點(diǎn)E,連接ADAE.

1)求∠DBC的大。ㄓ煤的代數(shù)式表示);

2)在0°<<60°)的變化過程中,∠AEB的大小是否發(fā)生變化?如果發(fā)生變化,請直接寫出變化的范圍;如果不發(fā)生變化,請直接寫出∠AEB的大。

3)用等式表示線段AE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】1)∠DBC;(2)∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化,且∠AEB=60°;(3BD=2AE+CE,證明見解析.

【解析】

1)如圖1,連接CD,由軸對稱的性質(zhì)可得AC=DC,∠DCP=ACP=,由ABC是等邊三角形可得AC=BC,∠ACB=60°,進(jìn)一步即得∠BCD=BC=DC,然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果;

2)設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)H,如圖2,由軸對稱的性質(zhì)可證明ACE≌△DCE,可得∠CAE=CDE,進(jìn)而得∠DBC=CAE,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得∠AEB=BCA,即可作出判斷;

3)如圖3,在BD上取一點(diǎn)M,使得CM=CE,先利用三角形的外角性質(zhì)得出∠BEC,進(jìn)而得△CME是等邊三角形,可得∠MCE=60°,ME=CE,然后利用角的和差關(guān)系可得∠BCM=DCE,再根據(jù)SAS證明BCM≌△DCE,于是BM=DE,進(jìn)一步即可得出線段AE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系.

解:(1)如圖1,連接CD,∵點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D,∴AC=DC,∠DCP=ACP=,

∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC,∠ACB=60°,

∴∠BCD=,BC=DC

∴∠DBC=BDC;

2)∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化,且∠AEB=60°.

理由:設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)H,如圖2,∵點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D,

AC=DC,AE=DE,又∵CE=CE,∴△ACE≌△DCESSS),∴∠CAE=CDE,

∵∠DBC=BDC,∴∠DBC=CAE,又∵∠BHC=AHE,∴∠AEB=BCA=60°,

即∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化,且∠AEB=60°;

3AE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是:BD=2AE+CE.

證明:如圖3,在BD上取一點(diǎn)M,使得CM=CE,

∵∠BEC=BDC+DCE=,

∴△CME是等邊三角形,∴∠MCE=60°,ME=CE,

,

∴∠BCM=DCE,又∵BC=DC,CM=CE

BCM≌△DCESAS),∴BM=DE,

AE=DE

BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.

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