【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸的兩個交點分別為A(-3,0)、B(1,0),與y軸交于點D(0,3),過頂點C作CH⊥x軸于點H.
(1)求拋物線的解析式和頂點C的坐標(biāo);
(2)連結(jié)AD、CD,若點E為拋物線上一動點(點E與頂點C不重合),當(dāng)△ADE與△ACD面積相等時,求點E的坐標(biāo);
(3)若點P為拋物線上一動點(點P與頂點C不重合),過點P向CD所在的直線作垂線,垂足為點Q,以P、C、Q為頂點的三角形與△ACH相似時,求點P的坐標(biāo).
【答案】(1),(-1,4) (2)(-2,3),,
(3)(-4,-5),(,)
【解析】
(1)將A(-3,0)、B(1,0)、D(0,3),代入y=ax2+bx+3求出即可;(2)求出直線AD的解析式,分別過點C、H作AD的平行線,與拋物線交于點E,利用△ADE與△ACD面積相等,得出直線EC和直線EH的解析式,聯(lián)立出方程組求解即可;(3) (3)分兩種情況討論:①點P在對稱軸左側(cè);②點P在對稱軸右側(cè).
(1)設(shè)拋物線的解析式為,
∵拋物線過點A(-3,0),B(1,0),D(0,3),
∴,解得,a=-1,b=-2,c=3,
∴拋物線解析式為,頂點C(-1,4);
(2)如圖1,∵A(-3,0),D(0,3),
∴直線AD的解析式為y=x+3,
設(shè)直線AD與CH交點為F,則點F的坐標(biāo)為(-1,2)
∴CF=FH,
分別過點C、H作AD的平行線,與拋物線交于點E,
由平行間距離處處相等,平行線分線段成比例可知,△ADE與△ACD面積相等,
∴直線EC的解析式為y=x+5,
直線EH的解析式為y=x+1,
分別與拋物線解析式聯(lián)立,得,,
解得點E坐標(biāo)為(-2,3),,;
(3)①若點P在對稱軸左側(cè)(如圖2),只能是△CPQ∽△ACH,得∠PCQ=∠CAH,
∴,
分別過點C、P作x軸的平行線,過點Q作y軸的平行線,交點為M和N,
由△CQM∽△QPN,
得=2,
∵∠MCQ=45°,
設(shè)CM=m,則MQ=m,PN=QN=2m,MN=3m,
∴P點坐標(biāo)為(-m-1,4-3m),
將點P坐標(biāo)代入拋物線解析式,得,
解得m=3,或m=0(與點C重合,舍去)
∴P點坐標(biāo)為(-4,-5);
②若點P在對稱軸右側(cè)(如圖①),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH,
∴,
延長CD交x軸于M,∴M(3,0)
過點M作CM垂線,交CP延長線于點F,作FNx軸于點N,
∴,
∵∠MCH=45°,CH=MH=4
∴MN=FN=2,
∴F點坐標(biāo)為(5,2),
∴直線CF的解析式為y=,
聯(lián)立拋物線解析式,得,解得點P坐標(biāo)為(,),
綜上所得,符合條件的P點坐標(biāo)為(-4,-5),(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖所示,頂點坐標(biāo)為(﹣2,﹣9a),下列結(jié)論:①4a+2b+c>0;②5a﹣b+c=0;③若方程a(x+5)(x﹣1)=﹣1有兩個根x1和x2,且x1<x2,則﹣5<x1<x2<1;④若方程|ax2+bx+c|=1有四個根,則這四個根的和為﹣4.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:AD是△ABC的高,且BD=CD.
(1)如圖1,求證:∠BAD=∠CAD;
(2)如圖2,點E在AD上,連接BE,將△ABE沿BE折疊得到△A′BE,A′B與AC相交于點F,若BE=BC,求∠BFC的大。
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接EF,過點C作CG⊥EF,交EF的延長線于點G,若BF=10,EG=6,求線段CF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題發(fā)現(xiàn):
()如圖①,中,,,,點是邊上任意一點,則的最小值為__________.
()如圖②,矩形中,,,點、點分別在、上,求的最小值.
()如圖③,矩形中,,,點是邊上一點,且,點是邊上的任意一點,把沿翻折,點的對應(yīng)點為點,連接、,四邊形的面積是否存在最小值,若存在,求這個最小值及此時的長度;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,點E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)證明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度數(shù);
(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時,連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,兩幢建筑物AB和CD,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=15m,CD=20m.AB和CD之間有一景觀池,小雙在A點測得池中噴泉處E點的俯角為42°,在C點測得E點的俯角為45°,點B、E、D在同一直線上.求兩幢建筑物之間的距離BD.(結(jié)果精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù):sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.90)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是用8個大小相同的小正方體搭成的幾何體,僅在該幾何體中取走一塊小正方體,使得到的新幾何體同時滿足兩個要求:(1)從正面看到的形狀和原幾何體從正面看到的形狀相同;(2)從左面看到的形狀和原幾何體從左面看到的形狀也相同.在不改變其它小正方體位置的前提下,可取走的小正方體的標(biāo)號是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點D,E分別在CB,CA上,且CD=CE,連AD,BE,F為AD的中點,連CF.
(1)求證:CF=BE,且CF⊥BE;
(2)將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角(如圖2),其它條件不變,此時(1)中的結(jié)論是否仍成立?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】方格紙中每個小正方形的邊長都是單位1,△OAB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.解答問題:
(1)請按要求對△ABO作如下變換:
①將△OAB向下平移2個單位,再向左平移3個單位得到△O1A1B1;
②以點O為位似中心,位似比為2:1,將△ABC在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到△OA2B2.
(2)寫出點A1,A2的坐標(biāo): , ;
(3)△OA2B2的面積為 .
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