Question

【題目】如圖，BD為⊙O的直徑，點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，AD交BC于E點(diǎn)，AE=2，ED=4．

（1）求證：△ABE∽△ADB；
（2）求tan∠ADB的值；
（3）延長BC至F，連接FD，使△BDF的面積等于8 ，求證：DF與⊙O相切．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A是 的中點(diǎn)，

∴ ，

∴∠BDA=∠ABE，

∵∠BAE=∠BAE，

∴△ABE∽△ADB

（2）解：由（1）可知： = ，

∴AB2=AEAD，

∵AE=2，ED=4．

∴AB=2 ，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，

∴tan∠ADB= = =

（3）解：連接CD，

∵AB=2 ，AD=6，

∴由勾股定理可知：BD=4 ，

由（2）可知：tan∠ADB=

∴∠ADB=30°，

∴∠ABE=∠ADB=30°，

∴∠DBC=30°，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD=90°，

∴sin∠DBC= ，

∴CD=2 ，

由勾股定理可知：BC=6，

∴S△BDC= BCCD=6 ，

∴S△CDF=S△BDF﹣S△BDC=2 ，

∵S△CDF= CFCD，

∴CF=2，

∴tan∠F= = ，

∴∠F=60°，

∴∠BDF=90°，

∴DF與⊙O相切．

【解析】（1）由等弧所對(duì)的圓周角相等即可證得;（2）利用第（1）的結(jié)論求出AB，根據(jù)正切 定義可求出；（3）要證相切，須證∠BDF=90°，須連接直徑，即連CD，利用（2）∠ADB=30°，則證出∠F=60°即可.