Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點，且B（1，0）

（1）求拋物線的解析式和點A的坐標；
（2）如圖1，點P是直線y=x上的動點，當直線y=x平分∠APB時，求點P的坐標；
（3）如圖2，已知直線y= x﹣ 分別與x軸、y軸交于C、F兩點，點Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點，過點Q作y軸的平行線，交直線CF于點D，點E在線段CD的延長線上，連接QE．問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，

可得a+2﹣3=0，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，

令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，

∴A點坐標為（﹣3，0）

（2）解：若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，

如圖1，若P點在x軸上方，PA與y軸交于點B′，

由于點P在直線y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，

在△BPO和△B′PO中

，

∴△BPO≌△B′PO（ASA），

∴BO=B′O=1，

設直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點坐標代入可得

，解得 ，

∴直線AP解析式為y= x+1，

聯立 ，解得 ，

∴P點坐標為（ ， ）；

若P點在x軸下方時，同理可得△BOP≌△B′OP，

∴∠BPO=∠B′PO，

又∠B′PO在∠APO的內部，

∴∠APO≠∠BPO，即此時沒有滿足條件的P點，

綜上可知P點坐標為（ ， ）

（3）解：如圖2，作QH⊥CF，交CF于點H，

∵CF為y= x﹣ ，

∴可求得C（ ，0），F（0，﹣ ），

∴tan∠OFC= = ，

∵DQ∥y軸，

∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，

∴tan∠HDQ= ，

不妨設DQ=t，DH= t，HQ= t，

∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，

∴若DQ=DE，則S△DEQ= DEHQ= × t×t= t2，

若DQ=QE，則S△DEQ= DEHQ= ×2DHHQ= × t× t= t2，

∵ t2＜ t2，

∴當DQ=QE時△DEQ的面積比DQ=DE時大．

設Q點坐標為（x，x2+2x﹣3），則D（x， x﹣ ），

∵Q點在直線CF的下方，

∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ x+ ，

當x=﹣ 時，tmax=3，

∴（S△DEQ）max= t2= ，

即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為

【解析】（1）利用待定系數法把B坐標代入解析式即可;（2）由平分可得△BPO≌△B′PO或△BOP≌△B′OP，連立y=x與AP的解析式可解決；（3）最值問題可利用函數思想解決，構建關于面積的函數，利用配方法解決.