【題目】已知:拋物線y=mx2+(m﹣2)x﹣2m+2(m≠0).
(1)求證:拋物線與x軸有交點(diǎn);
(2)若拋物線與x軸交于點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè),且x1+2x2=1.
①求m的值;
②點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)G(n,﹣n﹣),求PG的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)①m=1;②PG的最小值=
【解析】
(1)令y=0,再求出的方程的△是否大于等于0即可;
(2)①令y=0,解一元二次方程,再根據(jù)已知點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè),且,求解即可;②先假設(shè)與直線平行的直線l的關(guān)系式為,
若直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)C,列方程,根據(jù)得b的值,則點(diǎn)C到直線的距離就是PG的最小值.
(1)當(dāng)y=0時(shí),
.
∴拋物線與x軸有交點(diǎn);
(2)①當(dāng)y=0時(shí),,
解得或,
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè),
∴,
∵,
∴ 當(dāng),時(shí),1+2,解得m=1,
此時(shí),,滿足,故m=1符合題意,
當(dāng),時(shí),,解得m=2.
此時(shí),,與矛盾,故m=2不符合題意.
∴m=1;
②
當(dāng)m=1時(shí),拋物線解析式為 ,
∵點(diǎn)G,
∴點(diǎn)G在直線上.
假設(shè)與直線平行的直線l的關(guān)系式
為,
若直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)C,
則此時(shí)方程 的,解得b=.
∴直線l的關(guān)系式 ,
如圖,直線l與x軸,y軸分別交于D,M兩點(diǎn),直線
與y軸交于N點(diǎn),
∴D(,0),M(0,).
∴OD=,OM=.
∴MN=,
DM== ,
過點(diǎn)M作MH⊥HN,CE⊥EN,當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合,G點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí),PG長最小,
此時(shí)△MHN∽△DOM,
∴,即,
∴PG=MH=,
即PG的最小值是 .
故答案為:(1)見解析;(2)①m=1;②PG的最小值=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(30<α<150)得到△AB′C′,B、C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、C′,連接BC′,BC與AC、AB′相交于點(diǎn)E、F.
(1)當(dāng)α=70時(shí),∠ABC′=_____°,∠ACB′=______°.
(2)求證:BC′∥CB′.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)如圖,已知三角形ABC的邊AB是⊙O的切線,切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過圓心O并與圓相交于點(diǎn)D、C,過C作直線CE丄AB,交AB的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】同學(xué)們都學(xué)習(xí)過《幾何》課本第三冊第199頁的第11題,它是這樣的:如圖,A為⊙O的直徑EF上的一點(diǎn),OB是和這條直徑垂直的半徑,BA和⊙O相交于另一點(diǎn)C,過點(diǎn)C的切線和EF的延長線相交于點(diǎn)D,求證:DA=DC.
(1)現(xiàn)將圖1中的直徑EF所在直線進(jìn)行平行移動(dòng)到圖2所示的位置,此時(shí)OB與EF垂直相交于H,其它條件不變.
①求證:DA=DC;
②當(dāng)DF:EF=1:8,且DF=時(shí),求ABAC的值.
(2)將圖2中的EF所在直線繼續(xù)向上平行移動(dòng)到圖3所示的位置,使EF與OB的延長線垂直相交于H,A為EF上異于H的一點(diǎn),且AH小于⊙O的切線交EF于D,試猜想:DA=DC是否仍然成立?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,BC=12,高AD=8,矩形EFGH的一邊GH在BC上,頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC上,AD與EF交于點(diǎn)M.
(1)求證:;
(2)設(shè)EF=x,EH=y(tǒng),寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)設(shè)矩形EFGH的面積為S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式,并寫出S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0,2),對稱軸為直線x=﹣2,平行于x軸的直線與拋物線交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B在對稱軸左側(cè),BC=6.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)點(diǎn)P在x軸上,直線CP將△ABC面積分成2:3兩部分,請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.
(1)試求A,B,C的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到△BAD.3
①求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C,∠A=28°.
(1)求∠ACM的度數(shù);
(2)在MN上是否存在一點(diǎn)D,使ABCD=ACBC,為什么?
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