【題目】如圖,直線y=x+4交于x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,過A、C兩點(diǎn)的拋物線F1交x軸于另一點(diǎn)B(1,0).
(1)求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△BPC的內(nèi)心在y軸上,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在寫出理由;
(3)直線y=kx-6與y軸交于點(diǎn)N,與直線AC的交點(diǎn)為M,當(dāng)△MNC與△AOC相似時(shí),求點(diǎn)M坐標(biāo)。
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+4,Q(2)(﹣5,﹣16)(3)①②
【解析】試題分析:(1)利用一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo),然后再利用B點(diǎn)坐標(biāo)即可求出二次函數(shù)的解析式;(2)由于M在拋物線F1上,所以可設(shè)M(a,-),然后分別計(jì)算S四邊形MAOC和S△BOC,過點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P,則S四邊形MAOC的值等于△APM的面積與梯形POCM的面積之和.(3)由于沒有說明點(diǎn)P的具體位置,所以需要將點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論,當(dāng)點(diǎn)P在A′的右邊時(shí),此情況是不存在;當(dāng)點(diǎn)P在A′的左邊時(shí),此時(shí)∠DA′P=∠CAB′,若以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似,則分為以下兩種情況進(jìn)行討論:①=;②=.
試題解析:(1)令y=0代入y=x+4,
∴x=﹣3,A(﹣3,0),
令x=0,代入y=x+4,∴y=4,∴C(0,4),
設(shè)拋物線F1的解析式為:y=a(x+3)(x﹣1),
把C(0,4)代入上式得,a=﹣,
∴y=﹣x2﹣x+4,Q
(2)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),
取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′(﹣1,0),連接CB′,
則∠BCO=∠B′CO,
∴△BPC的內(nèi)心在y軸上,直線B′C的解析式為y=4x+4,
聯(lián)立,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣5,﹣16);
N(0,-6),直線AC的表達(dá)式為,
當(dāng)△MNC∽△AOC時(shí),①∠CMN為直角
設(shè) ,根據(jù)勾股定理可得
②當(dāng)∠CNM為直角時(shí),MN∥x軸,∴
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【題目】下列各組數(shù)中能構(gòu)成一個(gè)三角形邊長的是( )
A.5,5,11
B.8,7,15
C.6,8,10
D.10,20,30
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【題目】已知點(diǎn)A、B、C在同一條直線上,且AC=5cm,BC=3cm,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn).
(1)畫出符合題意的圖形;
(2)依據(jù)(1)的圖形,求線段MN的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=9,BC=12,AB=15,點(diǎn)M為AB邊上的點(diǎn),過M作ME⊥AC交AC于E,MF⊥BC交BC于F,連接EF,則EF的最小值為 .
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【題目】已知關(guān)于x的方程(m+4)x2+2x﹣3m=0是一元二次方程,則m的取值范圍是( 。
A.m<﹣4B.m≠0C.m≠﹣4D.m>﹣4
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【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于點(diǎn)H,連接OH.
(1)求AD與DH的長;
(2)求證:∠HDO=∠DCO.
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【題目】“4000輛自行車、187個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)”,臺(tái)州市區(qū)現(xiàn)已實(shí)現(xiàn)公共自行車服務(wù)全覆蓋,為人們的生活帶來了方便.圖①是公共自行車的實(shí)物圖,圖②是公共自行車的車架示意圖,點(diǎn)A、D、C、E在同一條直線上,CD=30cm,DF=20cm,AF=25cm,F(xiàn)D⊥AE于點(diǎn)D,座桿CE=15cm,且∠EAB=75°.
(1)求AD的長;
(2)求點(diǎn)E到AB的距離.(參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)
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