Question

【題目】如圖，直線y＝x+6與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，BC⊥AB，且BC＝AB；

（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖2，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D作AC的垂線EF交AC于E，交直線AB于F，連接CF，點(diǎn)P為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，求PF2﹣PC2的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，在第二象限過(guò)點(diǎn)A作線段AM⊥AB于點(diǎn)A，在線段AB上取一點(diǎn)N，連接MN，使MN＝BN，在第三象限取一點(diǎn)Q，使∠NMQ＝90°，連接QC，若QC∥AB，且QC＝6AM，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）C(6，﹣2)；（2）25；（3）

【解析】

（1）過(guò)C作CH⊥y軸于H，則∠BCH+∠CBH＝90°，證明△BHC≌△AOB（AAS）即可解決問(wèn)題；

（2）如圖2中，設(shè)射線AD交CF于G．根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△CBF，利用勾股定理解決問(wèn)題即可；

（3）如圖3中，連接BM，BQ，過(guò)B作BK⊥QM延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，延長(zhǎng)MA交QC于點(diǎn)T，可得正方形ABCT．證明△BKM≌△BAM（ASA），推出BA＝BK＝BC，MK＝MA，證明Rt△BKQ≌Rt△BCQ（HL），推出QK＝QC，設(shè)AM＝a，則QK＝QC＝6a，在Rt△QMT中，MQ＝5a，MT＝a+10，QT＝6a﹣10，勾股定理可得a＝，由tan∠MNA＝tan∠QMT＝tan∠BAO＝，推出QT＝10，MQ＝，MT＝，作PS⊥MQ于點(diǎn)S，根據(jù)，計(jì)算即可．

解：（1）如圖1中，

在y＝x+6中，令y＝0，得x＝﹣8；令x＝0，得y＝6

∴A(﹣8，0)，B(0，6)，

∴OA＝8，OB＝6，

過(guò)C作CH⊥y軸于H，則∠BCH+∠CBH＝90°，

∵BC⊥AB，

∴∠ABO+∠CBH＝90°，

∴∠BCH＝∠ABO，

又∠BHC＝∠AOB＝90°，BC＝AB，

∴△BHC≌△AOB（AAS），

∴HC＝OB＝6，BH＝OA＝8，OH＝8﹣6＝2，

∴C(6，﹣2)．

（2）如圖2中，設(shè)射線AD交CF于G．

∵BC⊥AB，BC＝AB，

∴∠BAC＝45°

∵EF⊥AC，

∴∠AFE＝45°

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD＝BF，

又∠ABD＝∠CBF＝90°，AB＝CB

∴△ABD≌△CBF（SAS），

∴∠BAD＝∠BCF，

∵∠BDA＝∠CDG，

∴∠CGD＝∠ABD＝90°，

即AD⊥CF，

∵OA＝8，OB＝6，

∴AB＝＝10，

∴BC＝10，

∴BF＝BD＝5，

∴PF2﹣PC2＝(PG2+FG2)﹣(PG2+CG2)

＝FG2﹣CG2＝(DF2﹣DG2)﹣(DC2﹣DG2)

＝DF2﹣DC2＝DF2﹣BD2＝BF2＝25

（3）如圖3中，連接BM，BQ，過(guò)B作BK⊥QM延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，延長(zhǎng)MA交QC于點(diǎn)T，可得正方形ABCT．

∵M(jìn)N＝BN，

∴∠NMB＝∠NBM，

∵BK⊥QK，NM⊥QK，

∴BK∥MN，

∴∠KBM＝∠BMN，

∴∠KBM＝∠MBA，

∵M(jìn)B＝MB，∠K＝∠BAM＝90°

∴△BKM≌△BAM（ASA），

∴BA＝BK＝BC，MK＝MA，

∴Rt△BKQ≌Rt△BCQ（HL），

∴QK＝QC，

設(shè)AM＝a，則QK＝QC＝6a，

在Rt△QMT中，MQ＝5a，MT＝a+10，QT＝6a﹣10，勾股定理可得a＝，

∵tan∠MNA＝tan∠QMT＝tan∠BAO＝，

∴QT＝10，MQ＝，MT＝

∴MN∥x軸，MQ∥y軸，作PS⊥MQ于點(diǎn)S，

∴，

設(shè)MQ與x軸交于點(diǎn)I，Rt△MAI中，AI＝2，

作AL⊥PS于點(diǎn)L，得矩形ALSI，

∴PS＝PL+LS＝t+10，

∴，

∴．