Question

已知拋物線 y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經過過點B（12，0）和C（0，6），對稱軸方程為x=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點D在線段AB上且AD=AC，求tan∠ACD的值；
（3）若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動，問是否在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數法求得二次函數的解析式即可；
（2）根據點D在線段AB上，且AD=AC得到點D在對稱軸上，然后根據點B （12，0）和點A關于直線x=2對稱、點A （-8，0），D（2，0），AD=10，AO=8、
（3）設直線CD垂直平分PQ，連接DQ，利用∠PDC=∠QDC，PD=DQ和∠ACD=∠ADC得到∠ACD=∠QDC，從而得到t=5÷1=5（秒），進一步得到存在t=5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分，然后利用時間、速度、路程之間的關系求得點Q的運動速度．

解答：解：（1）∵拋物線經過點C（0，-6），
∴C=-6，即y=ax²+bx-6．
由y=

- b 2a =2 144a+12b-6=0

解得　a=

1

16

，b=-

1

4

．
∴拋物線的解析式為y=

1

16

x2-

1

4

x-6．

（2）OC=6，得到在Rt△AOC中，AC=10，然后利用銳角三角函數的性質求得結果．
點D在線段AB上，且AD=AC，∴點D在對稱軸上．
點B （12，0）和點A關于直線x=2對稱．
點A （-8，0），D（2，0），AD=10，AO=8，OC=6，
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=10．
∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC．
∴Rt△COD中，tan∠ODC=

OC

OD

=

6

2

=3，
∴tan∠ACD=3．

（3）存在
設直線CD垂直平分PQ，連接DQ，
顯然∠PDC=∠QDC，PD=DQ．
由（2）∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠QDC，
∴DQ∥AC．
∵點D是線段AB的中點，∴DQ為中位線，
∴DQ=

1

2

AC=5．
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分，
此時，在Rt△BOC中，BC=

62+122

=6

5

．
DQ為△ABC的中位線，∴CQ=3

5

．
∴點Q的運動速度為每秒

3 5

5

個單位長度．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．