【題目】已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,0),直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4),B點(diǎn)在y軸上.P(a,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數(shù)的圖象交于D、E兩點(diǎn).
(1)求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,求△ODE的面積;
(3)當(dāng)0<a<3時(shí),求線段DE的最大值;
(4)若直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)為N,問(wèn)是否存在一點(diǎn)P,使以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)m=1,y=x2﹣2x+1;(2)S△ODE=2;(3)DE的最大值為;(4)滿足題意的點(diǎn)P是存在的,坐標(biāo)為(2,0)或(,0)或(,0).
【解析】
(1)直線y=x+m 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4),4=3+m,m=1,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,0),即可求解;
(2)把x=2代入y=x2-2x+1 得y=1,E(2,1),把x=2代入y=x+1得y=3,D(2,3),即可求解;
(3)由題意得D(a,a+1),E(a,a2-2a+1),DE=(a+1)-(a2-2a+1)=-(a)2+,即可求解;
(4)分兩種情況:D點(diǎn)在E點(diǎn)的上方、D點(diǎn)在E點(diǎn)的下方,分別求解即可.
解:(1)∵直線y=x+m 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4),
∴4=3+m,
∴m=1,
∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,0),
∴設(shè)y=a(x﹣1)2
∵拋物線經(jīng)過(guò)A(3,4),
∴a=1,
∴y=x2﹣2x+1;
(2)把x=2代入y=x2﹣2x+1 得y=1,
∴E(2,1),
把x=2代入y=x+1得y=3,
∴D(2,3),
∴DE=3﹣1=2
∴S△ODE=2;
(3)由題意得D(a,a+1),E(a,a2﹣2a+1),
∴DE=(a+1)﹣(a2﹣2a+1)=﹣(a)2+,
∴當(dāng)a=(屬于0<a<3 范圍)時(shí),DE的最大值為;
(4)∵直線AB:y=x+1,N(1,2),
∴MN=2,
∵要使四邊形為平行四邊形只要DE=MN.
∴分兩種情況:
①D點(diǎn)在E點(diǎn)的上方,則
DE=(a+1)﹣(a2﹣2a+1)=﹣a2+3a,
∴﹣a2+3aspan>=2,
∴a=1(舍去)或a=2;
②D點(diǎn)在E點(diǎn)的下方,則 DE=a2﹣3a=2,
∴a=或;
綜上所述,滿足題意的點(diǎn)P是存在的,坐標(biāo)為(2,0)或(,0)或(,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),對(duì)稱軸為直線x=﹣1,下列結(jié)論:①a+b+c<0;②a﹣b+c>1;③abc>0;④4a﹣2b+c>0;⑤c﹣a>1.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式;
(2)M(m,0)為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點(diǎn)P、N.
①試用含m的代數(shù)式表示PN的長(zhǎng);
②m為何值時(shí)△ABN面積最大,并求△ABN的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值為( 。
A.4B.﹣4C.8D.﹣8
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【題目】鐵嶺市某商貿(mào)公司以每千克40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種干果,計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售,為了讓顧客得到更大的實(shí)惠,現(xiàn)決定降價(jià)銷售,已知這種干果銷售量y(千克)與每千克降價(jià)x(元)(0<x<20)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示:
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)商貿(mào)公司要想獲利2090元,則這種干果每千克應(yīng)降價(jià)多少元?
(3)該干果每千克降價(jià)多少元時(shí),商貿(mào)公司獲利最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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【題目】已知:△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi),三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度).
(1)作出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1,并直接寫出C1點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2,并直接寫出B2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),連接AD,分別過(guò)點(diǎn)A,C作AE∥BC,CE∥AD交于點(diǎn)E,連接DE,交AC于點(diǎn)O.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)若AB=10,sin∠COE=,求CE的長(zhǎng).
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【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,將△ABC沿y軸翻折得到△A1B1C1,再將△A1B1C1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2;已知A(﹣1,4),B(﹣2,2),C(0,1)
(1)請(qǐng)依次畫出△A1B1C1和△A2B2C2;
(2)若直線A1B2與一個(gè)反比例函數(shù)圖象在第一象限交于點(diǎn)A1,試求直線A1B2和這個(gè)反比例函數(shù)的解析式.
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【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD中,BDAD,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使D是AE的中點(diǎn),連接BE和CE,BE與CD交于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形BDEC是矩形;
(2)若AB=6,AD=3,求矩形BDEC的面積.
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