Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90。 ， AC<BC，D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)E，DF交BC于點(diǎn)F，且DE⊥DF，過(guò)點(diǎn)A作AG／／BC交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求證：AG=BF；
（2）若AE=4，BF=8，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D是AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD．

∵AG∥BC，

∴∠GAD=∠FBD．

∵∠ADG=∠BDF，

∴△ADG≌△BDF．

∴AG=BF．

（2）解：連接EG，

∵△ADG≌△BDF，

∴GD=FD．

∵DE⊥DF，

∴EG=EF．

∵AG∥BC，∠ACB=90°，

∴∠EAG=90°．

在Rt△EAG中，

∵EG2=AE2+AG2=AE2+BF2

∴EF2=AE2+BF2且AE=4，BF=8．

∴EF=4 ．

【解析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義得出AD=BD ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠GAD=∠FBD，根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠ADG=∠BDF ，從而用ASA判斷出△ADG≌△BDF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出AG=BF ；
（2）連接EG，由三角形全等得出GD=FD ，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出EG=EF ，根據(jù)二直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠EAG=90°．在Rt△EAG中，根據(jù)勾股定理及等量代換得出EF2=AE2+BF2 ，從而代指計(jì)算得出EF的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解線段的中點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)，掌握線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，以及對(duì)平行線的性質(zhì)的理解，了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．