【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的頂點為M,直線y=m與拋物線交于點A,B,若△AMB為等腰直角三角形,我們把拋物線上A,B兩點之間的部分與線段AB 圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形,線段AB稱為碟寬,頂點M 稱為碟頂.
(1)由定義知,取AB中點N,連結(jié)MN,MN與AB的關(guān)系是_____.
(2)拋物線y=對應的準蝶形必經(jīng)過B(m,m),則m=_____,對應的碟寬AB是_____.
(3)拋物線y=ax2﹣4a﹣(a>0)對應的碟寬在x 軸上,且AB=6.
①求拋物線的解析式;
②在此拋物線的對稱軸上是否有這樣的點P(xp,yp),使得∠APB為銳角,若有,請求出yp的取值范圍.若沒有,請說明理由.
【答案】(1)MN與AB的關(guān)系是:MN⊥AB,MN=AB,(2)2,4;(3)①y=x2﹣3;②在此拋物線的對稱軸上有這樣的點P,使得∠APB 為銳角,yp的取值范圍是yp<﹣3或yp>3.
【解析】
(1)直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)分析得出答案;
(2)利用已知點為B(m,m),代入拋物線解析式進而得出m的值,即可得出AB的值;
(3)①根據(jù)題意得出拋物線必過(3,0),進而代入求出答案;
②根據(jù)y=x2﹣3的對稱軸上P(0,3),P(0,﹣3)時,∠APB 為直角,進而得出答案.
(1)MN與AB的關(guān)系是:MN⊥AB,MN=AB,
如圖1,∵△AMB是等腰直角三角形,且N為AB的中點,
∴MN⊥AB,MN=AB,
故答案為:MN⊥AB,MN=AB;
(2)∵拋物線y=對應的準蝶形必經(jīng)過B(m,m),
∴m=m2,
解得:m=2或m=0(不合題意舍去),
當m=2則,2=x2,
解得:x=±2,
則AB=2+2=4;
故答案為:2,4;
(3)①由已知,拋物線對稱軸為:y軸,
∵拋物線y=ax2﹣4a﹣(a>0)對應的碟寬在x 軸上,且AB=6.
∴拋物線必過(3,0),代入y=ax2﹣4a﹣(a>0),
得,9a﹣4a﹣=0,
解得:a=,
∴拋物線的解析式是:y=x2﹣3;
②由①知,如圖2,y=x2﹣3的對稱軸上P(0,3),P(0,﹣3)時,∠APB 為直角,
∴在此拋物線的對稱軸上有這樣的點P,使得∠APB 為銳角,yp的取值范圍是yp<﹣3或yp>3.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AC與BD相交于點O,AB=4,BD=4,E為AB的中點,點P為線段AC上的動點,則EP+BP的最小值為( )
A. 4B. 2C. 2D. 8
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,分別以AB,CD為邊向外作等邊△ABE和△CDF,連接AF,CE.求證:四邊形AECF為平行四邊形.
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【題目】在“書香校園”活動中,某校為了解學生家庭藏書情況,隨機抽取本校部分學生進行調(diào)查,并繪制成部分統(tǒng)計圖表如下:
類別 | 家庭藏書m本 | 學生人數(shù) |
A | 0≤m≤25 | 20 |
B | 26≤m≤100 | a |
C | 101≤m≤200 | 50 |
D | m≥201 | 66 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該調(diào)查的樣本容量為_____,a=_____;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“A”對應扇形的圓心角為_____°;
(3)若該校有2000名學生,請估計全校學生中家庭藏書200本以上的人數(shù).
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【題目】如圖,P為平行四邊形ABCD邊AD上一點,E、F分別為PB、PC的中點,△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、S1、S2,若S=2,則S1+S2=( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 不能確定
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【題目】某水果批發(fā)商經(jīng)銷一種高檔水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進價不變的情況下,若每千克漲價0.1元,銷售量將減少1千克
(1)現(xiàn)該商場保證每天盈利1500元,同時又要照顧顧客,那么每千克應漲價多少元?
(2)若該商場單純從經(jīng)濟利益角度考慮,這種水果每千克漲價多少元,使該商場獲利最大?
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【題目】如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,A,E為格點,B,F(xiàn)為小正方形邊的中點,C為AE,BF的延長線的交點.
(Ⅰ)AE的長等于 ;
(Ⅱ)若點P在線段AC上,點Q在線段BC上,且滿足AP=PQ=QB,請在如圖所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出線段PQ,并簡要說明點P,Q的位置是如何找到的(不要求證明) .
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【題目】如圖,拋物線與軸交于A (-1,0),B (5,0)兩點,直線與y軸交于點,與軸交于點.點是x軸上方的拋物線上一動點,過點作⊥軸于點,交直線于點.設(shè)點的橫坐標為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若,求的值;
(3)若點是點關(guān)于直線的對稱點,是否存在點,使點落在軸上?若存在,請直接寫出相應的點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.
(1)觀察猜想
圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;
(2)探究證明
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN面積的最大值.
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