Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，AD=9，AB=6，若點(diǎn)G、H、M、N分別在AB、CD、AD、BC上，線段MN與GH交于點(diǎn)K．若∠GKM=45°，NM=3 ，則GH= ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，
則AF=MN=3 ，AE=GH，
∵∠GKM=45°，
∴∠BAF+∠DAE=90°﹣45°=45°，
作∠QAE=45°交CD的延長(zhǎng)線于Q，
則∠QAD+∠DAE=45°，
∴∠QAD=∠FAB，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABF∽△AQD，
∴ ，
∴ ，
∴AQ= ，
在Rt△ADQ中，DQ= = ，
過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AQ于P，
∵∠QAE=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
設(shè)GH=AE=x，則AP=EP= AE= x，
∵tan∠Q= = ，
∴ = ，
解得x=3 ，
所以GH=3 ．
故答案為：3 ．
過(guò)點(diǎn)A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，于是得到AF=MN=3 ，AE=GH，由于∠GKM=45°，得到∠BAF+∠DAE=90°﹣45°=45°，作∠QAE=45°交CD的延長(zhǎng)線于Q，推出∠QAD+∠DAE=45°，通過(guò)△ABF≌△AQD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得AQ= ，在Rt△ADQ中，由勾股定理得到DQ= = ，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AQ于P，得到△AEP是等腰直角三角形，設(shè)GH=AE=x，則AP=EP= AE= ，然后利用∠Q的正切值列出方程求解即可．