【題目】如圖,已知 OACB 的頂點(diǎn) O、A、B 的坐標(biāo)分別是(0a)、(b,0),且a、b 滿(mǎn)足 b

1)如圖 1,a= ,b= ,點(diǎn) C 的坐標(biāo)

2)如圖 2,點(diǎn) P 為邊 OB 上一動(dòng)點(diǎn),將線(xiàn)段 AP P 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° PD.當(dāng)點(diǎn) P O 運(yùn)動(dòng)到 B 的過(guò)程中,求點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

3)如圖 3,在(2)的條件下,作等腰 Rt△BED,且∠DBE90°,再作等腰 Rt△ECF, 且∠ECF90°,直線(xiàn) FE 分別交 AC、OB 于點(diǎn) MN,求證:FMEN

【答案】1;;(,);(2;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)根據(jù) b 可得,從而確定a的值,代入求得b的值,然后利用平行四邊形的性質(zhì)確定點(diǎn)C的坐標(biāo);

2)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線(xiàn)段,則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡也為一條線(xiàn)段,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)D的位置如圖1所示,點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑為BD,然后利用正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)算出BD=

3)由(2)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑可知點(diǎn)D在∠OBC的外角平分線(xiàn)上,過(guò)點(diǎn)FFG垂直AC于點(diǎn)G,過(guò)EEH垂直AC于點(diǎn)H,已知△FCE為等腰直角三角形,可推出△FGC≌△CHEAAS),過(guò)點(diǎn)EEQ垂直OB于點(diǎn)Q,可推出△FGM≌△ENQAAS),可得FM=EN

解:∵ b

解得

∴將代入 b

b=

A0,)、B0

OA=OB=,

∵四邊形OACB為平行四邊形,∠AOB=90°,

∴四邊形OACB為正方形,

C點(diǎn)坐標(biāo)為(,

故答案為:;(,);

2)如圖1所示,

∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線(xiàn)段,則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡也為一條線(xiàn)段,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)D的位置如圖1所示,

∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑為BD

又∵線(xiàn)段 AP P 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° PD且由(1)可知四邊形四邊形OACB為正方形

BD=AB=;

3)如圖2所示,

由(2)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑可知點(diǎn)D在∠OBC的外角平分線(xiàn)上,

∴∠DBC=EBC=EBO=45°,

EDOB,

過(guò)點(diǎn)FFG垂直AC于點(diǎn)G,過(guò)EEH垂直AC于點(diǎn)H,

∴∠FGC=EHC=90°

∵△FCE為等腰直角三角形,

FC=EC,∠FCE=90°

∵∠ACB=90°,

∴∠FCG=ECB=CEH,

∴△FGC≌△CHEAAS),

CH=FG,

過(guò)點(diǎn)EEQ垂直OB于點(diǎn)Q,

BQ=EQ=CH=FG,

∵∠FGM=EQN=90°,

FMG=ENQ,

∴△FGM≌△ENQAAS),

FM=EN

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