Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DCM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y= x2 + bx-2上，
∴ × (-1 )2 + b× (-1)–2 = 0，
解得b= ，
∴ 拋物線的解析式為y= x2- x-2.
y= ( x2 -3x- 4 ) = (x-)2- ,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ( ,- ).
（2）解：當(dāng)x = 0時(shí)y = -2,
∴C（0，-2），OC = 2。
當(dāng)y = 0時(shí)， x2- x-2 = 0，
∴x1 =-1， x2 = 4,
∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,
∴AC2 +BC2 = AB2.
∴△ABC是直角三角形.
（3）解：作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，設(shè)M點(diǎn)（m,0）則OM=m,

根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小及△DCM的周長(zhǎng)最小
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.則E點(diǎn)（，0），
∴ME=-m, ED= ;
∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴ ， ∴m = ．
所以M的坐標(biāo)為（ ，0）
【解析】（ 1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y(tǒng)= x2 + bx-2，得出一個(gè)關(guān)于b的一元一次方程，求解得出b的值，從而得出二次函數(shù)的解析式，然后用配方法將函數(shù)解析式陪成頂點(diǎn)式，從而得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo) ；
（2）首先根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出C,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出OC,OA,OB,AB的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形.；
（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，設(shè)M點(diǎn)（m,0）則OM=m,根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小及△DCM的周長(zhǎng)最小 ，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E..則E點(diǎn)（，0） ,從而得出ME=-m, ED= ; 由于ED∥y軸，根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊的延長(zhǎng)線，所截得的三角形與原三角形相似得出△C′OM∽△DEM.根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出OM∶EM＝OC'∶ED ,從而得出一個(gè)關(guān)于m的一元一次方程，求解得出m的值，從而得出M點(diǎn)的坐標(biāo) 。