Question

15．現(xiàn)在的樂陵已經(jīng)實現(xiàn)村村通公路，現(xiàn)有兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部．
（1）那么點C應(yīng)選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）
（2）設(shè)AB的垂直平分線交ME于點N，且MN=4（$\sqrt{3}$+1）km，在M處測得點C位于點M的北偏東60°方向，在N處測得點C位于點N的北偏西45°方向，求點C到公路ME的距離．

Answer 1

分析 （1）依題意找出點C如圖所示，
（2）先判斷出∠CMN=30°，∠CND=45°，再用三角函數(shù)得出MD=$\sqrt{3}$CD；ND=CD即可．

解答 解：（1）如圖：

∴點C就是所求作的點；
（2）如下圖，作CD⊥MN于點D，

由題意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，
∵在Rt△CMD中，$\frac{CD}{MD}$=tan∠CMN，
∴MD=$\frac{CD}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$CD；
∵在Rt△CND中，$\frac{CD}{DN}$=tan∠CNM，
∴ND=$\frac{CD}{1}$=CD；
∵MN=2（$\sqrt{3}$+1）km，
∴MN=MD+DN=CD+$\sqrt{3}$CD=4（$\sqrt{3}$+1）km，
解得：CD=4km．
∴點C到公路ME的距離為4km．

點評 此題是解直角三角形，主要考查了尺規(guī)作圖中的角平分線和中垂線，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用銳角三角函數(shù)判斷出ND=CD，MD=$\sqrt{3}$CD．