Question

20．如圖1，小東將一張長方形紙片ABCD按如下方式進行折疊；在紙片的一邊BC上分別選取點P、Q，使得BP=CQ，連結(jié)AP、DQ，將△ABP、△DCQ分別沿AP、DQ折疊得△APM、△PQN，連結(jié)MN，小東發(fā)現(xiàn)線段MN的位置和長度隨著點P、Q的位置發(fā)生改變．
【規(guī)律探索】
（1）圖1中，過點M、N分別畫ME⊥BC于點E，NF⊥BC于點F，求證：ME=NF．
【解決問題】
（2）如圖1，若AB=6，BC=10$\sqrt{3}$，∠APB=60°，求線段MN的長；
（3）如圖2，若AB=6，∠APB=30°時，四邊形PQMN是矩形，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABP≌△DCQ，由此推出∠MPE=∠NQF，再證明△MEP≌△NFQ即可．
（2）分別在Rt△ABP，和Rt△MEP中，求出PB、PE即可解決問題．
（3）分別在Rt△ABP，和Rt△NPQ中，求出PB、PQ即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD，
在△ABP和△DCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCQ．
∴∠APB=∠DQC，
由題意可知∠APB=∠APM，∠DQC=∠DQN，PB=PM=CQ=QN，
∴∠BPM=∠CQN，
∴∠MPE=∠NQF，
在△MEP和△NFQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠NFQ=90°}\\{∠MPE=∠NQF}\\{PM=NQ}\end{array}\right.$，
∴△MEP≌△NFQ，
∴ME=NF．

（2）如圖1中，在Rt△ABP中，∵∠B=90°，AB=6，∠APB=60°，
∴PB=AB•tan30°=2$\sqrt{3}$，
在Rt△PME中，∵PM=2$\sqrt{3}$，∠MEP=90°，∠MPE=60°，
∴PE=$\frac{1}{2}$PM=$\sqrt{3}$，同理可得CQ=2$\sqrt{3}$．FQ=$\sqrt{3}$，
∴EF=BC-PB-PE-FQ-QC=4$\sqrt{3}$，
∵ME=NF，ME∥NF，
∴四邊形MEFN是平行四邊形，
∴MN=EF=4$\sqrt{3}$．

（3）如圖2中，

在Rt△ABP中，∵∠B=90°，AB=6，∠APB=30°，
∴PB=$\sqrt{3}$AB=6$\sqrt{3}$，
∴CQ=BP=6$\sqrt{3}$，
∵四邊形MNPQ是矩形，
∴∠NPQ=90°，
在Rt△QNP中，∵∠NPQ=90°，QN=QC=6$\sqrt{3}$，∠NQP=60°，
∴QP=$\frac{1}{2}$QN=3$\sqrt{3}$，
∴BQ=PC=3$\sqrt{3}$，
∴AD=BC=BQ+PQ+PC=9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．