Question

5．如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=120°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分別為D、E．
（1）當(dāng)點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)時(shí)（如圖①），求線段OD的長度；
（2）觀察圖②，點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動(dòng)，△DOE的邊、角有哪些保持不變？求出不變的量；
（3）設(shè)OD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出OD，根據(jù)勾股定理求出OD即可；
（2）過點(diǎn)O作AB的垂直平分線，與AB交于點(diǎn)F，與弧AB交于點(diǎn)M，求出AF，得出AB長度，根據(jù)垂徑定理得出D、E分別是AC、BC中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線求出即可，
（3）作出△DOE的邊OE上的高DG，利用三角函數(shù)求出DG，即可．

解答 g解：（1）如圖①，連接OC，

∵點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∵OD⊥AC，OA=OC，
∴∠ADO=90°，∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴OD=OA×cos∠AOD=2×cos30°=$\sqrt{3}$．/
（2）存在，DE是不變的，∠DOE也是不變的，
理由是：如圖②，連接AB，OC，

過點(diǎn)O作AB的垂線，則AF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴OM平分∠AOB與弧AB，在Rt△AOF中，∠AOF=60°，OA=2，
∴AF=$\sqrt{3}$，OF=1，
∴AB=2AF=2$\sqrt{3}$，
由垂徑定理可知，點(diǎn)D、E分別是AC和CB的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$；
∵OD⊥AC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∵OE⊥BC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°．
（3）如圖3，
過點(diǎn)D作DG⊥OE于G，
∴∠OGD=90°
由（2）有，點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動(dòng)，∠DOE始終不變，∠DOE=60°，
在Rt△OGD中，OD=2，∠DOE=60°，
∴EG=OD×sin∠DOE=x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴y=S_△DOE=$\frac{1}{2}$OD×DG=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)A重合時(shí)，x最大，最大的x=OD=OA=2，
當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)B重合時(shí)如圖②，x最小，最小的x=OD=OF=1，
∴x的取值范圍為1＜x＜2．
即：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}$（1＜x＜2）．

點(diǎn)評 本題考查了三角形中位線，垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，函數(shù)的自變量的取值范圍的確定，題目是一道比較典型的題目，難度適中，解本題的關(guān)鍵是確定出△DOE中的不變量．