【題目】1)如圖(1),已知:在中,,,直線經過點,直線,直線,垂足分別為點、.證明:

(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在中,、三點都在直線上,且,其中為任意銳角或鈍角.請問結論是否仍然成立?如成立;請你給出證明;若不成立,請說明理由.

3)拓展與應用:如圖(3),是直線上的兩動點、三點互不重合),點平分線上的一點,且均為等邊三角形,連接、,若,求證:

【答案】1)證明見解析;(2)成立;證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

1)由條件可證明ABD≌△CAE,可得DA=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE;

2)由條件可知∠BAD+CAE=180°-α,且∠DBA+BAD=180°-α,可得∠DBA=CAE,結合條件可證明ABD≌△CAE,同(1)可得出結論.

3)由(2)知,ADB≌△CAE,得到BD=EA,∠DBA=CAE,證明DBF≌△EAFSAS),得到DF=EF

1)∵BDl,CEl,

∴∠BDA=AEC=90°

又∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+CAE=90°,∠BAD+ABD=90°

∴∠CAE=ABD

ABDCAE中,

∴△ABD≌△CAEAAS

BD=AE,AD=CE,

DE=AD+AE,

DE=CE+BD;

2)成立

∵∠BDA=AEC=BAC=α,

∴∠DBA+BAD=BAD+CAE=180°-α,

∴∠CAE=ABD,

ADBCEA中,

∴△ADB≌△CEAAAS),

AE=BDAD=CE,

BD+CE=AE+AD=DE;

3)由(2)知,ADB≌△CAE

BD=EA,∠DBA=CAE,

∵△ABFACF均為等邊三角形,

∴∠ABF=CAF=60°

∴∠DBA+ABF=CAE+CAF,

∴∠DBF=FAE,

BF=AF

DBFEAF中,

∴△DBF≌△EAFSAS),

DF=EF.

練習冊系列答案
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