Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于點A（﹣2，0），點B（1，0），交y軸于點C（0，2）.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）連接AC，在直線AC上方的拋物線上有一點N，過點N作y軸的平行線，交直線AC于點F，設(shè)點N的橫坐標為n，線段NF的長為l，求l關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若點M在x軸上，是否存在點M，使以B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）l＝﹣n2﹣2n；（3）存在，點M的坐標為（﹣1，0）或（1，0）或（1﹣，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）先根據(jù)兩點的坐標，可設(shè)拋物線的解析式的交點式，再由點C的坐標利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)點N的橫坐標可求出點N與點F的縱坐標，從而根據(jù)即可得出答案；

（3）先利用勾股定理求出BC、BM、CM的長，再根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況討論，分別列出等式求解即可．

（1）由兩點的坐標，設(shè)拋物線的表達式為

將點代入得

解得

故拋物線的表達式為；

（2）設(shè)直線AC的表達式為

將代入得

解得

則直線AC的表達式為

由題意設(shè)點，則點

因此，，即

故l關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為；

（3）存在，求解過程如下：

設(shè)點，因點，點

則

根據(jù)等腰三角形的定義分以下3種情況：

①當時，，解得（此時點M與點B重合，舍去）或

②當時，，解得

③當時，，解得

綜上，點M的坐標為或或或．