Question

給出定義：設一條直線與一條拋物線只有一個公共點，且這條直線與這條拋物線的對稱軸不平行，就稱直線與拋物線相切，這條直線是拋物線的切線，這個公共點叫做切點．有下列命題：
①直線y=0是拋物線y=

1

4

x²的切線；
②直線x=-2與拋物線y=

1

4

x²相切于點（-2，1）；
③若直線y=x+b與拋物線y=

1

4

x²相切，則相切于點（2，1）；
④若直線y=kx-2與拋物線y=

1

4

x²相切，則實數(shù)k=

2

．
其中正確命題的番號是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：新定義

分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得拋物線y=

1

4

x²的頂點坐標為（0，0），對稱軸為y軸，則根據(jù)新定義可對①②進行判斷；利用拋物線與一次函數(shù)的交點問題，方程組

y=x+b y= 1 4 x2

只有一組解，消去y得到

1

4

x²-x-b=0有兩個相等的實數(shù)解，則可根據(jù)判別式的意義計算出b=-1，解得

x=2 y=1

，于是可對③進行判斷；與前面方法一樣得到

1

4

x²-kx+2=0有兩個相等的實數(shù)解，利用判別式的意義得△=（-k）²-4×

1

4

×2=0，解得k=±

2

，則可對④進行判斷．

解答：解：直線y=0是與拋物線y=

1

4

x²只有一個公共點（0，0），所以①正確；直線x=-2與拋物線y=

1

4

x²的對稱軸y軸平行，所以②錯誤；直線y=x+b與拋物線y=

1

4

x²相切，則

y=x+b y= 1 4 x2

只有一組解，所以

1

4

x²-x-b=0有兩個相等的實數(shù)解，△=（-1）²-4×

1

4

×（-b）=0，解得b=-1，則x=2，y=1，所以它們的切點坐標為（2，1），所以③正確；
若直線y=kx-2與拋物線y=

1

4

x²相切，

1

4

x²-kx+2=0有兩個相等的實數(shù)解，△=（-k）²-4×

1

4

×2=0，解得k=±

2

，所以④錯誤．
故答案為①③．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

．也考查了拋物線與一次函數(shù)的交點問題．