Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0）．
（1）求直線AC和拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)A、點(diǎn)C代入可確定直線AC解析式，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得b、c的值，繼而可得拋物線解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出四邊形APCO的面積，再由S_△PAC=S_{四邊形APCO}-S_△OAC，利用配方法求最值即可，得出x的值，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求出AC的長(zhǎng)度，分類討論．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入可得：

-4m+n=0 n=-4

，
解得：

m=-1 n=-4

，
則直線AC的解析式為y=-x-4；
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線可得：

8-4b+c=0 c=-4

，
解得：

b=1 c=-4

，
則拋物線解析式為：y=

1

2

x²+x-4．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

1

2

x²+x-4），
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，
則S_△PAC=S_{四邊形APCO}-S_△OAC
=S_{四邊形OCPM}+S_△APM-S_△AOC
=

1

2

（OC+PM）×OM+

1

2

AM×PM-

1

2

OA×OC
=

1

2

[4-（

1

2

x²+x-4）]×（-x）+

1

2

（4+x）×[-（

1

2

x²+x-4）]-

1

2

×4×4
=-x²-4x
=-（x+2）²+4，
當(dāng)x=-2時(shí)，S_△PAC取得最大，最大值為4，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-4）．

（3）AC=4

2

，
當(dāng)AD=AC時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）；
當(dāng)CA=CD時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4

2

-4）或（0，-4

2

-4）．
綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，4）或（0，4

2

-4）或（0，-4

2

-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求拋物線及直線解析式、梯形及三角形的面積，配方法求二次函數(shù)的最值，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的運(yùn)用．