【題目】動手實驗:利用矩形紙片(如圖1)剪出一個正六邊形紙片;再利用這個正六邊形紙片做一個無蓋的正六棱柱(棱柱底面為正六邊形) ,如圖2.

(1) 做一個這樣的正六棱柱所需最小的矩形紙片的長與寬的比為多少?

(2) 在(1)的條件下,當矩形的長為2a時,要使無蓋正六棱柱側面積最大,正六棱柱的高為多少?并求此時矩形紙片的利用率為多少?

【答案】(1)、2:;(2)、

【解析】

試題分析:(1)、首先根據(jù)題意畫出圖形,然后分別求出矩形的長和寬與正六邊形半徑長的關系,得出比值;(2)、分別求出正六棱柱和矩形紙片的面積,然后得出比值.

試題解析:(1)如圖所示:

由于正六邊形內角和為(62)×180°=720°,則其一角的角平分線所分的兩個角同為60°;

設所需矩形的長寬分別為A、B,剪出的正六邊形半徑長為L,那么

A=2L,B=2Lsin60°L;

因此,所求長寬比為A:B=(2L):(L)=2:

做一個這樣的正六棱柱所需最小的矩形紙片的長與寬的比為:2:

(2)矩形的長為2a, 正六邊形邊長為a,其面積為:設高為x,S=

當x=時,S=, 此時,底面積,

六棱柱的面積為+=

矩形的面積=,

利用率==

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