Question

【題目】如圖，P（m，n）是拋物線y=﹣+1上任意一點，l是過點（0，2）且與x軸平行的直線，過點P作直線PH⊥l，垂足為H，PH交x軸于Q．

（1）（探究）填空：當(dāng)m=0時，OP=　 　，PH=　 　；當(dāng)m=4時，OP=　 　，PH=　 　．

（2）（證明）對任意m，n，猜想OP與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

（3）（應(yīng)用）當(dāng)OP=OH，且m≠0時，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）1，1，5，5；（2）OP=PH；（3）P（2，﹣2）或（﹣2，﹣2）．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理，可得OP的長，根據(jù)點到直線的距離，可得可得PH的長；

（2）根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得點的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得PO的長，根據(jù)點到直線的距離，可得PH的長；

（3）當(dāng)OP=OH，且m≠0時，由（2）可知△OPH是等邊三角形，進而求得∠HOQ=30°，解直角三角形即可求得．

解：（1）當(dāng)m=0時，P（0，1），OP=1，PH=2﹣1=1；

當(dāng)m=4時，y=﹣3，P（4，﹣3），OP==5，PH=2﹣（﹣3）=5，

故答案為：1，1，5，5；

（2）猜想：OP=PH，

證明：PH交x軸與點Q，

∵P在y=﹣x2+1上，

∴設(shè)P（m，﹣m2+1），PQ=|﹣x2+1|，OQ=|m|，

∵△OPQ是直角三角形，

∴OP====m2+1，

PH=2﹣yp=2+m2﹣1=m2+1

OP=PH．

（3）∵OP=PH，

∴當(dāng)OP=OH，三角形OPH是等邊三角形，

∵OQ⊥PH，

∴∠HOQ=30°，

∴OQ=HQ=2，

∴P點的橫坐標(biāo)為±2，

∴P（2，﹣2）或（﹣2，﹣2）．