Question

【題目】已知在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，M、N 分別是邊 BC，CD 上的兩個動點，∠MAN＝60°，AM、AN 分別交 BD 于 E、F 兩點．

（1）如圖 1，求證：CM＋CN＝BC；

（2）如圖 2，過點 E 作 EG∥AN 交 DC 延長線于點 G，求證：EG＝EA；

（3）如圖 3，若 AB＝1，∠AED＝45°，直接寫出 EF 的長．

（4）如圖 3，若 AB＝1，直接寫出BE＋AE的最小值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EF＝；（4）

【解析】

（1）由題意可得△ABC，△ACD都是等邊三角形，然后求出∠BAM＝∠CAN，證明△BAM≌△CAN，得到BM＝CN，則CM＋CN＝CM＋BM＝BC；

（2）證明△ABE≌△CBE，得到AE＝EC，∠BAE＝∠BCE，然后求出∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，∠ECG＝60°＋∠ECB，得到∠ECG＝∠AND＝∠G，進而得出EC＝EG即可解決問題；

（3）如圖 3 中，將△ABE 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 120°得到△ADQ，AC和BD交于點O，連接FQ，易證△AFE≌△AFQ，然后可求出∠FQD＝90°，∠QDF＝60°，根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)設(shè)DQ＝BE＝x，DF＝2x，EF＝FQ＝，再求出BD＝，進而列方程求出x即可；

（4）如圖4，過點E作EH⊥BC于H，過點A作AQ⊥BC于Q，則BE＋AE＝EH＋AE，可得當A、E、H三點共線時，EH＋AE最小，此時EH＋AE＝AQ，然后求出AQ即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∵AB＝AC，∠B＝∠ACN＝60°，

∴△BAM≌△CAN，

∴BM＝CN，

∴CM＋CN＝CM＋BM＝BC；

（2）證明：如圖 2 中，連接 EC．

∵BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE＝EC，∠BAE＝∠BCE，

∵EG∥AN，

∴∠G＝∠AND，

∵∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，∠ECG＝60°＋∠ECB，

∵∠ECB＝∠BAE＝∠CAN，

∴∠ECG＝∠AND＝∠G，

∴EC＝EG，

∴EG＝EA；

（3）解：如圖 3 中，將△ABE 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 120°得到△ADQ，AC和BD交于點O，連接FQ，則∠MAN＝∠FAQ＝60°，

∵AE＝AQ，AF＝AF，

∴△AFE≌△AFQ，

∴∠AEF＝∠AQF＝45°，

∵∠AEB＝∠AQD＝135°，

∴∠FQD＝90°，

∵∠QDF＝∠ADQ＋∠ADF＝∠ABD＋∠ADF＝60°，

∴設(shè)DQ＝BE＝x，則DF＝2x，EF＝FQ＝，

∵AB＝AD＝1，∠ABD＝30°，

∴AO＝，BO＝，

∴BD＝2BO＝，

∴x＋2x＋＝，

∴x＝，

∴EF＝＝；

（4）解：如圖4，過點E作EH⊥BC于H，過點A作AQ⊥BC于Q，

∵∠EBH＝30°，

∴EH＝BE，

∴BE＋AE＝EH＋AE，

當A、E、H三點共線時，EH＋AE最小，此時EH＋AE＝AQ，

∵AB=1，∠ABQ＝60°，

∴BQ＝，

∴AQ＝，即BE＋AE的最小值為.