Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D．
（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a=﹣ ．
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標(biāo)是（3，1），

根據(jù)題意，得a=﹣ ，c=0，且a×32+b×3+c=1，

∴b= ，

∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x；

②∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，

∴C（ ，1），

∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余，

要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，

設(shè)P的坐標(biāo)為（x，﹣ x2+ x），

（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，

則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x= ，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）；

（Ⅱ）當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3

則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x=﹣ ，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）；

綜上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB與∠BCD互余．

（2）解：如圖3，

∵D（3，1），E（1，1），

拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、D，代入可得 ，解得 ，

所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分兩種情況：

①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時(shí)，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能是3個(gè)

②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時(shí)，

（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q必定有2個(gè)；

（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個(gè)交點(diǎn)，才能使符合條件的點(diǎn)Q共3個(gè)．

根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此時(shí)直線OQ的解析式為y=﹣ x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+ =0，解得a= ，

∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸下方

∴ ＜0，

∴a＞1，

∴a= 舍去

綜上所述，a的值為a= ．

【解析】（1）通過作過點(diǎn)D作垂線構(gòu)造全等直角三角形，即△AOB≌△BFD，求出D坐標(biāo)代入拋物線解析式即可；（2）要使∠POB與∠BCD互余，須∠POB=∠BAO，可分類討論：P在x軸的上方時(shí)或P在x軸的下方時(shí)；根據(jù)三角函數(shù)列出比例式，求出結(jié)果；（3）須分類討論，分兩種情況：當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下或當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上；數(shù)形結(jié)合，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，tan∠QOB=tan∠BAO= = ,求出a值，進(jìn)行驗(yàn)證.