【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A(0,2),B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)D.
(1)如圖1,若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O,且a=﹣
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式;
②連結(jié)CD,問:在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;

(2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1,1),點(diǎn)Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余.若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè),請直接寫出a的值.

【答案】
(1)解:①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F,如圖1,

∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,

∴∠DBF=∠BAO,

又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,

∴△AOB≌△BFD(AAS)

∴DF=BO=1,BF=AO=2,

∴D的坐標(biāo)是(3,1),

根據(jù)題意,得a=﹣ ,c=0,且a×32+b×3+c=1,

∴b=

∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x;

②∵點(diǎn)A(0,2),B(1,0),點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),

∴C( ,1),

∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1,

∴CD∥x軸,

∴∠BCD=∠ABO,

∴∠BAO與∠BCD互余,

要使得∠POB與∠BCD互余,則必須∠POB=∠BAO,

設(shè)P的坐標(biāo)為(x,﹣ x2+ x),

(Ⅰ)當(dāng)P在x軸的上方時(shí),過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,如圖2,

則tan∠POB=tan∠BAO,即 =

= ,解得x1=0(舍去),x2= ,

∴﹣ x2+ x= ,

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為( );

(Ⅱ)當(dāng)P在x軸的下方時(shí),過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,如圖3

則tan∠POB=tan∠BAO,即 =

= ,解得x1=0(舍去),x2= ,

∴﹣ x2+ x=﹣

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,﹣ );

綜上,在拋物線上是否存在點(diǎn)P( )或( ,﹣ ),使得∠POB與∠BCD互余.


(2)解:如圖3,

∵D(3,1),E(1,1),

拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、D,代入可得 ,解得

所以y=ax2﹣4ax+3a+1.

分兩種情況:

①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時(shí),若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能是3個(gè)

②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時(shí),

(i)當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí),直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個(gè)交點(diǎn),符合條件的點(diǎn)Q必定有2個(gè);

(ii)當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí),要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個(gè)交點(diǎn),才能使符合條件的點(diǎn)Q共3個(gè).

根據(jù)(2)可知,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ,此時(shí)直線OQ的解析式為y=﹣ x,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個(gè)交點(diǎn),所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以△=(﹣4a+ 2﹣4a(3a+1)=0,即4a2﹣8a+ =0,解得a=

∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸下方

<0,

∴a>1,

∴a= 舍去

綜上所述,a的值為a=


【解析】(1)通過作過點(diǎn)D作垂線構(gòu)造全等直角三角形,即△AOB≌△BFD,求出D坐標(biāo)代入拋物線解析式即可;(2)要使∠POB與∠BCD互余,須∠POB=∠BAO,可分類討論:P在x軸的上方時(shí)或P在x軸的下方時(shí);根據(jù)三角函數(shù)列出比例式,求出結(jié)果;(3)須分類討論,分兩種情況:當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下或當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上;數(shù)形結(jié)合,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,tan∠QOB=tan∠BAO= = ,求出a值,進(jìn)行驗(yàn)證.

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