Question

平行四邊形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于點F． 
（1）若AB=3，∠BAD=60°，求CE的長；
（2）求證：AD=BF+CG．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）由“平行四邊形的對角相等”推知∠C=∠BAD=60°，則通過解直角△BCG得到BC的長度，所以CE=BC-BE=BC-BG；
（2）如圖，延長GB至點P，使BP=CG．構(gòu)建全等三角形：△ABP≌△BGC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的對邊相等得到BC=AP=AD、∠1=∠2．然后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)易證∠PAF=∠4，則AP=PF．所以結(jié)合圖形知PF=PB+BF=CG+BF，則AD=BF+CG．

解答：解：（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=60°．
∵BG垂直于CD，
∴∠BGC=90°，
∴BC=

BG

sin60°

．
又∵AB=BG=BE=3，
∴BC=

3

3 2

=2

3

，
∴CE=BC-BE=BC-BG=2

3

-3；

（2）如圖，延長GB至點P，使BP=CG．
在△ABP與△BGC中，

AB=BG ∠ABP=∠BGC=90° BP=GC

，
∴△ABP≌△BGC（SAS），
∴BC=AP=AD，∠1=∠2．
∵∠4=∠2+∠3．
又∵AB=BE，
∴∠5=∠3，
∴∠1+∠5=∠2+∠3=∠4，即∠PAF=∠4，
∴AP=PF．
又∵PF=PB+BF=CG+BF，
∴AD=BF+CG．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定推知AP=PF是解題的難點．