Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接BC，且點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣2，4），tan∠OBC＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接PC、PD，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PCD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）延長CD交x軸于點(diǎn)E，連接PE，直線DG與x軸交于點(diǎn)G，與PE交于點(diǎn)Q，且OG＝2，點(diǎn)F在DQ上，∠DQE+∠BCF＝45°，若FQ＝2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+8；（2）S＝t2+t，（3）P（，）．

【解析】

（1）在Rt△OBC中，tan∠OBC＝=，則OB＝6，即可求解；

（2）S＝S△PMD﹣S△PMC＝PM（xP﹣xD﹣xP）即可求解；

（3）證明FC是∠OCB角平分線，求出點(diǎn)V（，0），點(diǎn)F（3，﹣1）、點(diǎn)Q（5，﹣3），即可求解．

（1）在Rt△OBC中，tan∠OBC＝=，∴OB＝6，

∴點(diǎn)B（6，0），

∴，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x+8…①；

（2）過點(diǎn)P作PM∥y軸交CD延長線于點(diǎn)M，

將D、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線DC的表達(dá)式為：y＝2x+8，

則點(diǎn)E（﹣4，0），

設(shè)點(diǎn)M（t，2t+8），

則PM＝2t+8﹣（t2+t+8）＝t2+t，

S＝S△PMD﹣S△PMC＝PM（xP﹣xD﹣xP）＝×2（t2+t）＝t2+t，

（3）將點(diǎn)G（2，0）、點(diǎn)D坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線DG的表達(dá)式為：y＝﹣x+2…②，

∴∠DGA＝45°，

過點(diǎn)F作FK⊥y軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)Q作QL⊥FK于點(diǎn)L交x軸于點(diǎn)S，直線CF交x軸于點(diǎn)V，

∴∠FQL＝∠LFQ＝45°，∴FL＝QL＝FQ＝2，

設(shè)點(diǎn)F（m，﹣m+2），則點(diǎn)Q（m+2，﹣m），

tan∠FCK＝=，tan∠QEB＝=，

∴∠FCK＝∠QEB，

∵∠QEB+∠BCF＝45°，∠DQE+∠QEB＝45°，

∴∠QEB＝∠BCF，∠FCK＝∠BCF，

過點(diǎn)V作VR⊥BC于點(diǎn)R，設(shè)OV＝n，

則VB＝6﹣n，CO＝CR＝8，則BR＝2，

則（6﹣n）2＝n2+4，解得：n＝，則點(diǎn)V（，0），

將直線C（0，8）、V（，0）坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線CV（CF）的表達(dá)式為：y＝﹣3x+8…③，

聯(lián)立②③并解得：x＝3，則點(diǎn)F（3，﹣1），

而FQ＝2，在等腰直角三角形FQL中，

FL＝QL＝2×＝2，

故點(diǎn)Q（5，﹣3），點(diǎn)E（﹣4，0），

同理可得直線EQ的表達(dá)式為：y＝x﹣…④，

聯(lián)立①④并解得：x＝（舍去負(fù)值），

∴P（，）．