【題目】如圖1,四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形,連接AC、CO、BO,點C為弧BD的中點.
(1)求證:∠DAC=∠ACO+∠ABO;
(2)如圖2,點E在OC上,連接EB,延長CO交AB于點F,若∠DAB=∠OBA+∠EBA.求證:EF=EB;
(3)在(2)的條件下,如圖3,若OE+EB=AB,CE=2,AB=13,求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)AD=7.
【解析】試題分析:(1)如圖1中,連接OA,只要證明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,由點C是 中點,推出 ,推出∠BAC=∠DAC,即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO;
(2)想辦法證明∠EFB=∠EBF即可;
(3)如圖3中,過點O作OH⊥AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于G,作BN⊥CF于N,作CK⊥AD于K,連接OA.作CT∠⊥AB于T.首先證明△EFB是等邊三角形,再證明△ACK≌△ACT,Rt△DKC≌Rt△BTC,延長即可解決問題;
試題解析:(1)如圖1中,連接OA,
∵OA=OC,∴∠1=∠ACO,
∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,
∵點C是中點,∴,∴∠BAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠ACO+∠ABO.
(2)如圖2中,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴∠BAD=∠BOC,
∵∠DAB=∠OBA+∠EBA,∴∠BOC=∠OBA+∠EBA,
∴∠EFB=∠EBF,∴EF=EB.
(3)如圖3中,過點O作OH⊥AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于G,作BN⊥CF于N,作CK⊥AD于K,連接OA.作CT∠⊥AB于T.
∵∠EBA+∠G=90°,∠CFB+∠HOF=90°,
∵∠EFB=∠EBF,∴∠G=∠HOF,
∵∠HOF=∠EOG,∴∠G=∠EOG,∴EG=EO,
∵OH⊥AB,∴AB=2HB,
∵OE+EB=AB,∴GE+EB=2HB,∴GB=2HB,
∴cos∠GBA= ,∴∠GBA=60°,
∴△EFB是等邊三角形,設(shè)HF=a,
∵∠FOH=30°,∴OF=2FH=2a,
∵AB=13,∴EF=EB=FB=FH+BH=a+,
∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=﹣a,OB=OC=OE+EC=﹣a+2=﹣a,
∵NE=EF=a+,
∴ON=OE=EN=(﹣a)﹣(a+)=﹣a,
∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2,
∴(﹣a)2﹣(﹣a)2=(a+)2﹣(a+)2,
解得a=或﹣10(舍棄),
∴OE=5,EB=8,OB=7,
∵∠K=∠ATC=90°,∠KAC=∠TAC,AC=AC,∴△ACK≌△ACT,∴CK=CT,AK=AT,
∵,∴DC=BC,∴Rt△DKC≌Rt△BTC,∴DK=BT,
∵FT=FC=5,∴DK=TB=FB﹣FT=3,∴AK=AT=AB﹣TB=10,∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7.
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【題目】如圖,是根據(jù)九年級某班50名同學一周的鍛煉情況繪制的條形統(tǒng)計圖,下面關(guān)于該班50名同學一周鍛煉時間的說法錯誤的是( )
A. 中位數(shù)是6.5 B. 平均數(shù)高于眾數(shù)
C. 極差為3 D. 平均每周鍛煉超過6小時的人占總數(shù)的一半
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【題目】甲、乙兩隊舉行了一年一度的賽龍舟比賽,兩隊在比賽時的路程s(米)與時間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示,請你根據(jù)圖象判斷,下列說法正確的是( 。
A. 甲隊率先到達終點 B. 甲隊比乙隊多走了200米路程
C. 乙隊比甲隊少用0.2分鐘 D. 比賽中兩隊從出發(fā)到2.2分鐘時間段,乙隊的速度比甲隊的速度快
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【題目】在20km越野賽中,甲乙兩選手的行程y(單位:km)隨時間x(單位:h)變化的圖象如圖所示,
根據(jù)圖中提供的信息,有下列說法:①兩人相遇前,甲的速度小于乙的速度;②出發(fā)后1小時,兩人行程均為10km;③出發(fā)后1.5小時,甲的行程比乙多3km;④甲比乙先到達終點.其中正確的有個.
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【題目】為了強化司機的交通安全意識,我市利用交通安全宣傳月對司機進行了交通安全知識問卷調(diào)查.關(guān)于酒駕設(shè)計了如下調(diào)查問卷:
克服酒駕﹣﹣你認為哪種方式最好?(單選) |
A加大宣傳力度,增強司機的守法意識. B在汽車上張貼溫馨提示:“請勿酒駕”. C司機上崗前簽“拒接酒駕”保證書. D加大檢查力度,嚴厲打擊酒駕. E查出酒駕追究一同就餐人的連帶責任. |
隨機抽取部分問卷,整理并制作了如下統(tǒng)計圖:
根據(jù)上述信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的樣本容量是多少?
(2)補全條形圖,并計算B選項所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù);
(3)若我市有3000名司機參與本次活動,則支持D選項的司機大約有多少人?
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【題目】一個直角三角形的斜邊長比一條直角邊長多2cm,另一條直角邊長6cm,那么這個直角三角形的斜邊長為( 。
A. 4cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm
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【題目】閱讀下面材料:
上課時李老師提出這樣一個問題:對于任意實數(shù)x,關(guān)于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a>0恒成立,求a的取值范圍.
小捷的思路是:原不等式等價于x2﹣2x﹣1>a,設(shè)函數(shù)y1=x2﹣2x﹣1,y2=a,畫出兩個函數(shù)的圖象的示意圖,于是原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1的圖象在y2的圖象上方時a的取值范圍.
請結(jié)合小捷的思路回答:
對于任意實數(shù)x,關(guān)于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a>0恒成立,則a的取值范圍是 .
參考小捷思考問題的方法,解決問題:
關(guān)于x的方程x﹣4=在0<a<4范圍內(nèi)有兩個解,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域,我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13nmile的A,B兩個基地前去攔截,六分鐘后同時到達C地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行120nmile,乙巡邏艇每小時航行50nmile,航向為北偏西40°,問:甲巡邏艇的航向是多少?
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