Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線，與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸為l．

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求四邊形DOBF的面積；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－2)；（2）；（3）存在以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．

【解析】

（1）分別把y=0，x=0代入函數(shù)解析式，解方程即可求解；

（2）求出直線BC解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，0)．根據(jù)求出D、E、F坐標(biāo)，根據(jù)即可求解；

（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1，n)，分NB為對角線、ND為對角線、BD為對角線三類討論，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)．

（1）由，得．

解方程，得，．

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)．

由，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－2)

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，經(jīng)過點(diǎn)B(4，0)，C(0，-2)，∴解得，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，0)．

∵點(diǎn)D在第一象限，∴．

又∵，∴．

解得，(舍去)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴．

（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1，n)，

①當(dāng)NB為對角線時(shí)，如答圖1所示，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

代入，得，解得．

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，－2)；

②當(dāng)ND為對角線時(shí)，如答圖2所示，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

代入，得．

解得．

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，－2)；

③當(dāng)BD為對角線時(shí)，如答圖3所示，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

代入，得．

解得．

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(8，10)．

綜上所述：存在以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．