Question

【題目】閱讀下面內(nèi)容，并解決問題：

《名畫》中的數(shù)學(xué)

前蘇聯(lián)著名科學(xué)家別萊利曼在他所著的《趣味代數(shù)學(xué)》中介紹了波格達(dá)諾夫·別列斯基的《名畫》，畫上那位老師拉金斯基是一位自然科學(xué)教授，放棄了大學(xué)教席(教師職務(wù))來到農(nóng)村學(xué)校當(dāng)一名普通老師．畫中，黑板上寫著一道式子，如圖所示：

從這道算式計(jì)算可以得出答案等于2，如果仔細(xì)一研究，10，11，12，13，14這幾個(gè)數(shù)具有一種有趣的特性： ，而且．

請(qǐng)解答以下問題：

（1）還有沒有其他像這樣五個(gè)連續(xù)的整數(shù)，前三個(gè)數(shù)的平方和正好等于后兩個(gè)數(shù)的平方和呢？如果有，請(qǐng)求出另外的五個(gè)連續(xù)的整數(shù)；

（2）若七個(gè)連續(xù)整數(shù)前四個(gè)數(shù)的平方和等于后三個(gè)數(shù)的平方和，請(qǐng)直接寫出符合條件的連續(xù)整數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）存在其他五個(gè)連續(xù)的整數(shù)－2，－1，0，1，2，前三個(gè)數(shù)的平方和正好等于后兩個(gè)數(shù)的平方和；（2）21，22，23，24，25，26，27和－3，－2，－1，0，1，2，3．

【解析】

（1）設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)為n，n+1，n+2，n+3，n+4，根據(jù)題意n2+（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2+（n+4）2，解方程得到n．
（2）設(shè)七個(gè)連續(xù)整數(shù)為n-3，n-2，n-1，n，n+1，n+2，n+3，根據(jù)題意（n-1）2+（n-2）2++（n-3）2+n2=（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2，解方程得到n．

（1）存在其他像這樣五個(gè)連續(xù)的整數(shù)，前三個(gè)數(shù)的平方和正好等于后兩個(gè)數(shù)的平方和．

設(shè)x為這五個(gè)連續(xù)整數(shù)的第二個(gè)數(shù)．

依題意列方程，得．

化簡(jiǎn)，得．

解這個(gè)方程，得，，

∴五個(gè)連續(xù)的整數(shù)為10，11，12，13，14和－2，－1，0，1，2，前三個(gè)數(shù)的平方和正好等于后兩個(gè)數(shù)的平方和．

答：存在其他五個(gè)連續(xù)的整數(shù)－2，－1，0，1，2，前三個(gè)數(shù)的平方和正好等于后兩個(gè)數(shù)的平方和．

（2）設(shè)七個(gè)連續(xù)整數(shù)為n-3，n-2，n-1，n，n+1，n+2，n+3，根據(jù)題意得：
（n-1）2+（n-2）2+（n-3）2+n2=（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2，
∴n2-24n=0
解得n=24或n=0，
當(dāng)n=24時(shí)這五個(gè)數(shù)為21，22，23，24，25，26，27．
當(dāng)n=0時(shí)這五個(gè)數(shù)為-3，-2，-1，0，1，2，3．
故答案為：符合條件的連續(xù)整數(shù)有兩組：
第一組21，22，23，24，25，26，27；
第二組-3，-2，-1，0，1，2，3．