Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝2OA，拋物線的對稱軸x軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；

（3）K是拋物線上一個動點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H，使B、C、K、H為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）m1＝4或m2＝；（3）點(diǎn)H坐標(biāo)為（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．

【解析】

（1）結(jié)合A（﹣2，0），B（8，0）由兩點(diǎn)式可得拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣8），求出點(diǎn)C坐標(biāo)，代入即可求出拋物線解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線上，可設(shè)P（m，﹣m2+m+4），結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)可得直線PC的解析式，已知直線與對稱軸交點(diǎn)E的坐標(biāo)，DE長可知，根據(jù)S△ABC＝×AB×OC求出其面積，由題中條件可知△CDP的面積，由三角形面積公式可得m的值；

（3）分類討論，①若BC為邊，∠CBK＝90°時，將BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC'，根據(jù)AAS證明△BCO≌△BC'E，依據(jù)全等的性質(zhì)可得點(diǎn)B點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線BC的表達(dá)式與拋物線的解析式聯(lián)立求解可得點(diǎn)K橫坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可知xC﹣xB＝xH﹣xK，，結(jié)合點(diǎn)B、C、D點(diǎn)坐標(biāo)可得H點(diǎn)坐標(biāo).②若BC為邊，∠BCK＝90°時，同理可求：直線CK的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解可得點(diǎn)K橫坐標(biāo)，同理可得H點(diǎn)坐標(biāo)；③若BC為對角線，由B點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)可得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)及BC的長，點(diǎn)K在拋物線上，設(shè)設(shè)點(diǎn)K（x，﹣x2+x+4），利用勾股定理可求出x的值，選擇符合題意的，求出點(diǎn)K坐標(biāo)后結(jié)合KH的中點(diǎn)坐標(biāo)可知H點(diǎn)坐標(biāo)，綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)有3種情況.

（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）

∴OA＝2，OB＝8，

∵OC＝2OA，

∴OC＝4，

∴點(diǎn)C（0，4）

∵設(shè)y＝a（x+2）（x﹣8）經(jīng)過點(diǎn)C，

∴4＝﹣16a，

∴a＝﹣，

∴拋物線解析式為：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；

（2）如圖1，

由題意：點(diǎn)D（3，0），

∴OD＝3，

設(shè)P（m，﹣m2+m+4），（m＞0，﹣m2+m+4＞0）

∵C（0，4），

∴直線PC的解析式可表示為：y＝（﹣m+）x+4，

設(shè)直線PC與對稱軸的交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（3，﹣m+），

∴DE＝﹣m+，

∵S△ABC＝×AB×OC，

∴S△ABC＝×10×4＝20，

∵S△CDP＝S△ABC，

∴×（﹣m+）×m＝×20，

∴m1＝4或m2＝；

（3）若BC為邊，∠CBK＝90°時，如圖2，將BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC'，

∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，

∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，

∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，

∴△BCO≌△BC'E（AAS）

∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，

∴點(diǎn)C'（4，﹣8），且B（8，0）

∴直線BC'解析式為：y＝2x﹣16，

∴2x﹣16＝﹣x2+x+4，

∴x1＝﹣10，x2＝8，

∴點(diǎn)K（﹣10，﹣36），

∵xC﹣xB＝xH﹣xK，

∴0﹣8＝xH﹣（﹣10），

∴xH＝﹣18，

∵，

∴yH＝﹣32，

∴點(diǎn)H（﹣18，﹣32），

若BC為邊，∠BCK＝90°時，

同理可求：直線CK的解析式為：y＝2x+4，

∴2x+4＝﹣x2+x+4，

∴x1＝﹣2，x2＝0，

∴點(diǎn)K坐標(biāo)（﹣2，0）

∵，

∴0﹣8＝﹣2﹣xH，

∴xH＝﹣6，

∵，

∴yH＝﹣4，

∴點(diǎn)H（6，﹣4），

若BC為對角線，

∵B、C、K、H為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形，

∴BC＝KH，BC與KH互相平分，

∵B（8，0），C（0，4）

∴BC中點(diǎn)坐標(biāo)（4，2），BC＝＝＝4，

設(shè)點(diǎn)K（x，﹣x2+x+4）

∴（x﹣4）2+（﹣x2+x+4﹣2）2＝（2）2，

∴x（x﹣2）2（x﹣8）＝0，

∴x1＝0，x2＝2，x3＝8，

∴K（2，6），且KH的中點(diǎn)坐標(biāo)（4，2），

∴點(diǎn)H（6，﹣2）

綜上所述：點(diǎn)H坐標(biāo)為（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．