【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)
(1)當(dāng)t=3時(shí),線段PQ的長(zhǎng)為 cm;
(2)是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖2,以PC為邊,往CB方向作正方形CPMN,設(shè)四邊形CPMN與Rt△ABC重疊部分的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)3;(2)存在,理由見解析, t=(12﹣6)s;(3)S=t2(0<t≤3)或S=﹣t2+12t﹣18(3<t≤6)
【解析】
(1)由題意得:當(dāng)t=3時(shí),PC=3=AC,AQ=3=AB,即P、Q分別為AC、AB的中點(diǎn),得出PQ為△ABC的中位線,得出PQ=BC=3即可;
(2)由勾股定理得出方程,解方程即可;
(3)分兩種情況,由正方形面積公式和三角形面積公式,即可得出答案.
(1)∵∠C=90°,AC=BC=6,
∴AB==6,
當(dāng)t=3時(shí),PC=3=AC,AQ=3=AB,
即P、Q分別為AC、AB的中點(diǎn),
∴PQ為△ABC的中位線,
∴PQ=BC=3(cm);
故答案為:3;
(2)存在.理由如下:
連接BP.如圖1,
在Rt△ACB中,∵AC=BC=6,∠C=90°,
∴AB=6,
若點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上,
則BP=BQ,
∵AQ=t,CP=t,
∴BQ=6﹣t,
∵PB2=62+t2,
∴(6﹣t)2=62+t2,
整理得:t2﹣24t+36=0,
解得:t=12﹣6或t=12+6(舍去),
∴t=(12﹣6)s時(shí),點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上.
(3)分兩種情況:
①當(dāng)0<t≤3時(shí),如圖2:
S=正方形CPMN的面積=t2;
②當(dāng)3<t≤6時(shí),如圖3:
∵PC=t,AC=6,
∴AP=6﹣t
∵∠C=∠APM=∠M=90°,∠A=∠EFM=45°,
∴△APE∽△FME∽△ACB,并且都是等腰直角三角形
∴PE=AP=6﹣t,
∴EM=FM=t﹣(6﹣t)=2t﹣6,
∴S=S正方形CPMN﹣SRt△EFM =t2﹣(2t﹣6)2=﹣t2+12t﹣18;
綜上所述,S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為:S=t2(0<t≤3)或S=﹣t2+12t﹣18(3<t≤6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從共享單車、共享汽車等共享出行到共享充電寶、共享雨傘等共享物品,各式各樣的共享經(jīng)濟(jì)模式在各個(gè)領(lǐng)域迅速普及應(yīng)用,越來越多的企業(yè)與個(gè)人成為參與者與受益者,小宇上網(wǎng)查閱了相關(guān)資料,順便收集到四個(gè)共享經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的圖標(biāo),并將其制成編號(hào)為A,B,C,D的四張卡片(除編號(hào)和內(nèi)容外,其余完全相同),將這四張卡片背面朝上,洗勻放好.
(1)從中隨機(jī)抽取一張,求剛好抽到“共享服務(wù)”的概率.
(2)從中隨機(jī)抽取一張(不放回),再從中隨機(jī)抽取一張,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識(shí)”的概率(這四張卡片分別用它們的編號(hào)A,B,C,D表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小聰和小明沿同一條路同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到某超市購物,學(xué)校與超市的路程是4千米.小聰騎自行車,小明步行,當(dāng)小聰從原路回到學(xué)校時(shí),小明剛好到達(dá)超市.圖中折線O﹣A﹣B﹣C和線段OD分別表示兩人離學(xué)校的路程s(千米)與所經(jīng)過的時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系,請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題:
(1)小聰在超市購物的時(shí)間為 分鐘,小聰返回學(xué)校的速度為 千米/分鐘;
(2)請(qǐng)你求出小明離開學(xué)校的路程s(千米)與所經(jīng)過的時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)小聰與小明迎面相遇時(shí),他們離學(xué)校的路程是多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果公司購進(jìn)10 000kg蘋果,公司想知道蘋果的損壞率,從所有蘋果中隨機(jī)抽取若干進(jìn)行統(tǒng)計(jì),部分結(jié)果如下表:
蘋果總質(zhì)量n(kg) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 1000 |
損壞蘋果質(zhì)量m(kg) | 10.50 | 19.42 | 30.63 | 39.24 | 49.54 | 101.10 |
蘋果損壞的頻率 (結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位) | 0.105 | 0.097 | 0.102 | 0.098 | 0.099 | 0.101 |
估計(jì)這批蘋果損壞的概率為_____(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位),損壞的蘋果約有______kg.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已如拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點(diǎn),這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,﹣)和(m﹣b,m2﹣mb+n),其中a,b,c,m,n為實(shí)數(shù),且a,m不為0.
(1)求c的值;
(2)求證:拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);
(3)當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí),設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x軸距離最大的點(diǎn)為P(x0,y0),求這時(shí)|y0|的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣2ax+(a>0)與y軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M.P為拋物線的頂點(diǎn).若直線OP交直線AM于點(diǎn)B,且M為線段AB的中點(diǎn),則a的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在水果銷售旺季,某水果店購進(jìn)一優(yōu)質(zhì)水果,進(jìn)價(jià)為20元/千克,售價(jià)不低于20元/千克,且不超過32元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y(千克)與該天的售價(jià)x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
銷售量y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售價(jià)x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天這種水果的售價(jià)為23.5元/千克,求當(dāng)天該水果的銷售量.
(2)如果某天銷售這種水果獲利150元,那么該天水果的售價(jià)為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(﹣2,0),B(8,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2OA,拋物線的對(duì)稱軸x軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且S△CDP=S△ABC,求m的值;
(3)K是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H,使B、C、K、H為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形?若存在,直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E , 交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接AC .
(1)求證: AC平分∠DAE ;
(2)若,求⊙O的半徑.
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