Question

【題目】定義：對于已知的兩個函數(shù)，任取自變量的一個值，當時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等；當時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例如：正比例函數(shù)，它的相關(guān)函數(shù)為.

（1）已知點在一次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上，求的值；

（2）已知二次函數(shù).

①當點在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上時，求的值；

②當時，求函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值.

（3）在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，連結(jié).直接寫出線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像有兩個公共點時的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①、 ；②，；（3），

【解析】

（1）先求出的相關(guān)函數(shù)，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，①分為m＜0和m≥0兩種情況將點B的坐標代入對應(yīng)的關(guān)系式求解即可；

②當-3≤x＜0時，y=x2-4x+，然后可 此時的最大值和最小值，當0≤x≤3時，函數(shù)y=-x2+4x-，求得此時的最大值和最小值，從而可得到當-3≤x≤3時的最大值和最小值；

（3）首先確定出二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)與線段MN恰好有1個交點、2個交點、3個交點時n的值，然后結(jié)合函數(shù)圖象可確定出n的取值范圍．

解：（1）根據(jù)題意，

一次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，

∴把點代入，則

，

∴；

（2）根據(jù)題意，二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，

①當m＜0時，將B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+，

解得：m=2+（舍去）或m=．
當m≥0時，將B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，

解得：m=2+或m=2．
綜上所述：m=或m=或m=．
②當-3≤x＜0時，y=x2-4x+，拋物線的對稱軸為x=2，此時y隨x的增大而減小，

∴當時，有最大值，即，

∴此時y的最大值為．
當0≤x≤3時，函數(shù)y=-x2+4x，拋物線的對稱軸為x=2，

當x=0有最小值，最小值為，

當x=2時，有最大值，最大值y=．
綜上所述，當-3≤x≤3時，函數(shù)y=-x2+4x的相關(guān)函數(shù)的最大值為，最小值為；

（3）如圖1所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有1個公共點．

∴當x=2時，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如圖2所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點．

∵拋物線y=x2-4x-n與y軸交點縱坐標為1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴當-3＜n≤-1時，線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．
如圖3所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點．

∵拋物線y=-x2+4x+n經(jīng)過點（0，1），
∴n=1．
如圖4所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．

∵拋物線y=x2-4x-n經(jīng)過點M（，1），
∴+2-n=1，解得：n=．
∴1＜n≤時，線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．
綜上所述，n的取值范圍是-3＜n≤-1或1＜n≤．