Question

如圖，等邊△ABC中，點M是BC上一點，點N是CA上一點，且BM=CN，AM與BN相交于Q點．
（1）求證：AM=BN．　　
（2）求證：∠BQM=60°．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：證明題

分析：（1）根據等邊三角形的性質求得∠ABC=∠ACB=60°，再由SAS證明△ABM和△BCN全等即可；
（2）根據全等三角形的性質：對應角相等，求得∠BAM=∠NBC，利用三角形的外角和定理可得∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，所以∠BQM=∠ADN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴AM=BN；

（2）證明：∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠NBC，
∵∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，
∴∠BQM=∠AQN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質．利用性質和判定，學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵．在寫兩個三角形全等時，一定把對應的頂點，角、邊的順序寫一致，為找對應邊，角提供方便．