Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． 其中正確的結(jié)論是（ ）

A.③④
B.②④
C.②③
D.①④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

∴△=b2﹣4ac＞0，所以①錯(cuò)誤；

∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D（﹣1，2），

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，

而拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，

∴x=1時(shí)，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②錯(cuò)誤；

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣ =﹣1，

∴b=2a，

∵x=﹣1時(shí)，y=2，

即a﹣b+c=2，

∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正確；

∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D（﹣1，2），

即x=﹣1時(shí)，y有最大值2，

∴拋物線與直線y=2只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．

故選A．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開(kāi)口方向：a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上; a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．才能正確解答此題．