【題目】閱讀以下材料:對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550年-1617年),納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)概念建立之前,直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,1707年-1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.對數(shù)的定義:一般地,若,則叫做以為底的對數(shù),記作.比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為,對數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為.我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個(gè)性質(zhì):.理由如下:設(shè),,所以,,所以,由對數(shù)的定義得,又因?yàn)?/span>,所以.解決以下問題:
(1)將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)式: .
(2)仿照上面的材料,試證明:
(3)拓展運(yùn)用:計(jì)算 .
【答案】(1);(2)見解析;(3)2
【解析】
(1)根據(jù)題意可以把指數(shù)式53=125寫成對數(shù)式;
(2)先設(shè)logaM=x,logaN=y,根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為:M=ax,N=ay,計(jì)算的結(jié)果,同理由所給材料的證明過程可得結(jié)論;
(3)根據(jù)公式:loga(MN)=logaM+logaN和的逆用,將所求式子表示為:log3(2×18÷4),計(jì)算可得結(jié)論.
(1)∵一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a為底N的對數(shù),記作:記作:x=logaN.
∴3=log5125,
故答案為:3=log5125;
(2)證明:設(shè),
∴,,
∴,
由對數(shù)的定義得
又∵,
∴
(3) log3(2×18÷4)= log39=2.
故答案為:2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某文具店每天售出甲、乙兩種筆,統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn):甲、乙兩種筆同一天售出量之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系,設(shè)甲、乙兩種筆同一天的售出量分別為x(支)、y(支),部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示(下表中每一列數(shù)據(jù)表示甲、乙兩種筆同一天的售出量).
甲種筆售出x(支) | … | 4 | 6 | 8 | … |
乙種筆售出y(支) | … | 6 | 12 | 18 | … |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫出函數(shù)的定義域)
(2)某一天文具店售出甲、乙兩種筆的營業(yè)額分別為30元和120元,如果乙種筆每支售價(jià)比甲種筆每支售價(jià)多2元,那么甲、乙兩種筆這天各售出多少支?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=3cm、AC=4cm、BC=5cm,在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線,將△ABC分割成兩個(gè)三角形,使其中的一個(gè)是等腰三角形,則這樣的直線最多可畫的條數(shù)為( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線與軸交于A,B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,連接BC.
(1)如圖1,求直線BC的表達(dá)式;
(2)如圖1,點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),連接PC,PB,當(dāng)△PCB面積最大時(shí),一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P從出發(fā),沿適當(dāng)路徑運(yùn)動(dòng)到軸上的某個(gè)點(diǎn)G處,再沿適當(dāng)路徑運(yùn)動(dòng)到軸上的某個(gè)點(diǎn)H處,最后到達(dá)線段BC的中點(diǎn)F處停止,求當(dāng)△PCB面積最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)及點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的最短路徑的長;
(3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)△PCB面積最大時(shí),把拋物線向右平移使它的圖象經(jīng)過點(diǎn)P,得到新拋物線,在新拋物線上,是否存在點(diǎn)E,使△ECB的面積等于△PCB的面積.若存在,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個(gè)四邊形的對角線把四邊形分成兩個(gè)三角形,一個(gè)是等邊三角形,另一個(gè)是該對角線所對的角為的三角形,我們把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的理想對角線,這個(gè)四邊形稱為理想四邊形.
(1)如圖①,在中,,,,為上一點(diǎn),,為中點(diǎn),連接,求證:四邊形為理想四邊形;
(2)如圖②,是等邊三角形,若為理想對角線,四邊形為理想四邊形.請畫圖找出符合條件的C點(diǎn)落在怎樣的圖形上;(在圖中標(biāo)出必要的數(shù)據(jù))
(3)在(2)的條件下,
①若為直角三角形,,求的長度;
②如圖③,若,,,請直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0沒有實(shí)數(shù)根,則下列結(jié)論:①b2﹣4ac>0;②ac<0;③m>2,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A.0B.1C.2D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀以下材料:對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾,納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前,直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.
對數(shù)的定義:一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a為底N的對數(shù),記作:記作:x=logaN.比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=log216,對數(shù)式2=log525可以轉(zhuǎn)化為52=25.
我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個(gè)性質(zhì):
loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:logaM=m,logaN=n,則M=am,N=an
∴MN=aman=am+n,由對數(shù)的定義得m+n=loga(MN)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(MN)=logaM+logaN
解決以下問題:
(1)將指數(shù)式53=125轉(zhuǎn)化為對數(shù)式 ;
(2)log24= ,log381= ,log464= .(直接寫出結(jié)果)
(3)證明:證明loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0).(寫出證明過程)
(4)拓展運(yùn)用:計(jì)算計(jì)算log34+log312﹣log316= .(直接寫出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中,小亮要測量一樓房的高度,先在坡面處測得樓房頂部的仰角為,沿坡面向下走到坡腳處,然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)處,測得樓房頂部的仰角為.已知坡面米,山坡的坡度(坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比),求樓房高度.(結(jié)果精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】思維探索:
在正方形ABCD中,AB=4,∠EAF的兩邊分別交射線CB,DC于點(diǎn)E,F,∠EAF=45°.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在線段BC,CD上時(shí),△CEF的周長是 ;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在CB,DC的延長線上,CF=2時(shí),求△CEF的周長;
拓展提升:
如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,過點(diǎn)B作BD⊥BC,連接AD,在BC的延長線上取一點(diǎn)E,使∠EDA=30°,連接AE,當(dāng)BD=2,∠EAD=45°時(shí),請直接寫出線段CE的長度.
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