Question

【題目】閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾，納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．

對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：記作：x＝logaN．比如指數(shù)式24＝16可以轉(zhuǎn)化為4＝log216，對(duì)數(shù)式2＝log525可以轉(zhuǎn)化為52＝25．

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

loga（MN）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an

∴MN＝aman＝am+n，由對(duì)數(shù)的定義得m+n＝loga（MN）

又∵m+n＝logaM+logaN

∴loga（MN）＝logaM+logaN

解決以下問(wèn)題：

（1）將指數(shù)式53＝125轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式　 　；

（2）log24＝　 　，log381＝　 　，log464=　 　．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（3）證明：證明loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．（寫(xiě)出證明過(guò)程）

（4）拓展運(yùn)用：計(jì)算計(jì)算log34+log312﹣log316＝　 　．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）3＝log5125；（2）2，4，3；（3）見(jiàn)解析；（4）1.

【解析】

（1）根據(jù)題意可以把指數(shù)式53=125寫(xiě)成對(duì)數(shù)式；
（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行解答便可；
（3）先設(shè)logaM=m，logaN=n，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：M=am，N=an，計(jì)算的結(jié)果，同理由所給材料的證明過(guò)程可得結(jié)論；

（4）根據(jù)公式：loga（MN）＝logaM+logaN以及loga＝logaM﹣logaN的逆運(yùn)用求解即可得到答案；

解：（1）∵一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：記作：x＝logaN．

∴3＝log5125，

故答案為：3＝log5125；

（2）∵22＝4，34＝81，43＝64，

∴log24＝2，log381＝4，log464＝3，

故答案為：2；4；3；

（3）設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，

∴＝＝am﹣n，

∴由對(duì)數(shù)的定義得m﹣n＝loga，

又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，

∴loga＝logaM﹣logaN；

（4）根據(jù)公式：loga（MN）＝logaM+logaN以及loga＝logaM﹣logaN得到：

log34+log312﹣log316＝log3（4×12÷16）＝log33＝1．

故答案為：1．