【題目】閱讀以下材料:對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾,納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前,直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.
對(duì)數(shù)的定義:一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作:記作:x=logaN.比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=log216,對(duì)數(shù)式2=log525可以轉(zhuǎn)化為52=25.
我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì):
loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:logaM=m,logaN=n,則M=am,N=an
∴MN=aman=am+n,由對(duì)數(shù)的定義得m+n=loga(MN)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(MN)=logaM+logaN
解決以下問(wèn)題:
(1)將指數(shù)式53=125轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式 ;
(2)log24= ,log381= ,log464= .(直接寫(xiě)出結(jié)果)
(3)證明:證明loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0).(寫(xiě)出證明過(guò)程)
(4)拓展運(yùn)用:計(jì)算計(jì)算log34+log312﹣log316= .(直接寫(xiě)出結(jié)果)
【答案】(1)3=log5125;(2)2,4,3;(3)見(jiàn)解析;(4)1.
【解析】
(1)根據(jù)題意可以把指數(shù)式53=125寫(xiě)成對(duì)數(shù)式;
(2)運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行解答便可;
(3)先設(shè)logaM=m,logaN=n,根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為:M=am,N=an,計(jì)算的結(jié)果,同理由所給材料的證明過(guò)程可得結(jié)論;
(4)根據(jù)公式:loga(MN)=logaM+logaN以及loga=logaM﹣logaN的逆運(yùn)用求解即可得到答案;
解:(1)∵一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作:記作:x=logaN.
∴3=log5125,
故答案為:3=log5125;
(2)∵22=4,34=81,43=64,
∴log24=2,log381=4,log464=3,
故答案為:2;4;3;
(3)設(shè)logaM=m,logaN=n,則M=am,N=an,
∴==am﹣n,
∴由對(duì)數(shù)的定義得m﹣n=loga,
又∵m﹣n=logaM﹣logaN,
∴loga=logaM﹣logaN;
(4)根據(jù)公式:loga(MN)=logaM+logaN以及loga=logaM﹣logaN得到:
log34+log312﹣log316=log3(4×12÷16)=log33=1.
故答案為:1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為30 m,寬為24 m的矩形空地,計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為480 m2,兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道,則人行通道的寬度為________m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于(x1,0),且﹣1<x1<0,對(duì)稱(chēng)軸x=1.如圖所示,有下列5個(gè)結(jié)論:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的實(shí)數(shù)).其中所有結(jié)論正確的是______(填寫(xiě)番號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀以下材料:對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550年-1617年),納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)概念建立之前,直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,1707年-1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.對(duì)數(shù)的定義:一般地,若,則叫做以為底的對(duì)數(shù),記作.比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為,對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為.我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì):.理由如下:設(shè),,所以,,所以,由對(duì)數(shù)的定義得,又因?yàn)?/span>,所以.解決以下問(wèn)題:
(1)將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式: .
(2)仿照上面的材料,試證明:
(3)拓展運(yùn)用:計(jì)算 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新交通法規(guī)實(shí)施以來(lái),為了解某社區(qū)居民遵守交通法規(guī)情況,小明隨機(jī)選取部分居民就“行人闖紅燈現(xiàn)象”進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,調(diào)查分為“A:從不闖紅燈;B:偶爾闖紅燈;C:經(jīng)常闖紅燈;D:其他”四種情況,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出部分條形統(tǒng)計(jì)圖(如圖1)和部分扇形統(tǒng)計(jì)圖(如圖2).請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查共選取 名居民;
(2)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C”所對(duì)扇形的圓心角是 度,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)如果該社區(qū)共有居民2600人,估計(jì)有多少人從不闖紅燈?(請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、C在平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上,AB=4,CB=3,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),點(diǎn)E、F分別是線(xiàn)段DA、AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、D重合),且∠CEF=∠ACB,若△EFC為等腰三角形,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,)、點(diǎn)B(9,﹣10),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是直線(xiàn)AC上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn);
(1)求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線(xiàn)l與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)∠PCB=90°時(shí),作∠PCB的角平分線(xiàn),交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F.
①求點(diǎn)P和點(diǎn)F的坐標(biāo);
②在直線(xiàn)CF上是否存在點(diǎn)Q,使得以F、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCF相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),連接DE、點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′,連接AC′并延長(zhǎng)交直線(xiàn)DE于點(diǎn)P,F是AC′的中點(diǎn),連接DF.
(1)求∠FDP的度數(shù);
(2)連接BP,請(qǐng)用等式表示AP、BP、DP三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)連接AC,若正方形的邊長(zhǎng)為,請(qǐng)直接寫(xiě)出△ACC′的面積最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,線(xiàn)段AB=8,射線(xiàn)BG⊥AB,P為射線(xiàn)BG上一點(diǎn),以AP為邊作正方形APCD,且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè),在線(xiàn)段DP上取一點(diǎn)E,使∠EAP=∠BAP,直線(xiàn)CE與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合).
(1)求證:△AEP≌△CEP;
(2)判斷CF與AB的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)求△AEF的周長(zhǎng).
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