【題目】如圖1,拋物線與軸交于兩點,與軸交于點,,矩形的邊,延長交拋物線于點.
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖2,點是直線上方拋物線上的一個動點,過點作軸的平行線交直線于點,作,垂足為.設(shè)的長為,點的橫坐標為,求與的函數(shù)關(guān)系是(不必寫出的取值范圍),并求出的最大值;
(3)如果點是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點,使得以為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;(2)l=﹣(m+)2+,最大值為;(3)(2,﹣)或(﹣4,﹣)或(﹣2,2).
【解析】
試題分析:(1)由條件可求得A、B的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)可先求得E點坐標,從而可求得直線OE解析式,可知∠PGH=45°,用m可表示出PG的長,從而可表示出l的長,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;
(3)分AC為邊和AC為對角線,當AC為邊時,過M作對稱軸的垂線,垂足為F,則可證得△MFN≌△AOC,可求得M到對稱軸的距離,從而可求得M點的橫坐標,可求得M點的坐標;當AC為對角線時,設(shè)AC的中點為K,可求得K的橫坐標,從而可求得M的橫坐標,代入拋物線解析式可求得M點坐標.
試題解析:(1)∵矩形OBDC的邊CD=1,
∴OB=1,
∵AB=4,
∴OA=3,
∴A(﹣3,0),B(1,0),
把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得
,
解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;
(2)在y=﹣x2﹣x+2中,令y=2可得2=﹣x2﹣x+2,解得x=0或x=﹣2,
∴E(﹣2,2),
∴直線OE解析式為y=﹣x,
由題意可得P(m,﹣ m2﹣m+2),
∵PG∥y軸,
∴G(m,﹣m),
∵P在直線OE的上方,
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣(﹣m)=﹣m2﹣m+2=﹣(m+)2+,
∵直線OE解析式為y=﹣x,
∴∠PGH=∠COE=45°,
∴l=PG= [﹣(m+)2+]=﹣(m+)2+,
∴當m=﹣時,l有最大值,最大值為;
(3)①當AC為平行四邊形的邊時,則有MN∥AC,且MN=AC,如圖,過M作對稱軸的垂線,垂足為F,設(shè)AC交對稱軸于點L,
則∠ALF=∠ACO=∠FNM,
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC(AAS),
∴MF=AO=3,
∴點M到對稱軸的距離為3,
又y=﹣x2﹣x+2,
∴拋物線對稱軸為x=﹣1,
設(shè)M點坐標為(x,y),則|x+1|=3,解得x=2或x=﹣4,
當x=2時,y=﹣,當x=﹣4時,y=,
∴M點坐標為(2,﹣)或(﹣4,﹣);
②當AC為對角線時,設(shè)AC的中點為K,
∵A(﹣3,0),C(0,2),
∴K(﹣,1),
∵點N在對稱軸上,
∴點N的橫坐標為﹣1,
設(shè)M點橫坐標為x,
∴x+(﹣1)=2×(﹣)=﹣3,解得x=﹣2,此時y=2,
∴M(﹣2,2);
綜上可知點M的坐標為(2,﹣)或(﹣4,﹣)或(﹣2,2).
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【題目】(2015南通)如圖,在ABCD中,點E,F分別在AB,DC上,且ED⊥DB,FB⊥BD.
(1)求證:△AED≌△CFB;
(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求證:DA=DF.
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【題目】 如圖,CD為⊙O直徑,CD⊥AB于點F,AE⊥BC于E,AE過圓心O,且AO=1.則四邊形BEOF的面積為( 。
A.B.C.D.
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【題目】(6分)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,分別延長OA,OC到點E,F,使AE=CF,依次連接B,F,D,E各點.
(1)求證:△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=50°,則當∠EBA= °時,四邊形BFDE是正方形.
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【題目】(12分)(2017·黃岡)已知:如圖,一次函數(shù)y=-2x+1與反比例函數(shù)y=的圖象有兩個交點A(-1,m)和B,過點A作AE⊥x軸,垂足為E;過點B作BD⊥y軸,垂足為點D,且點D的坐標為(0,-2),連結(jié)DE.
(1)求k的值;
(2)求四邊形AEDB的面積.
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【題目】已知關(guān)于x方程x2-6x+m+4=0有兩個實數(shù)根x1,x2
(1)求m的取值范圍.
(2)若,求m的值.
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【題目】如圖,直線y=ax經(jīng)過點A(4,2),點B在雙曲線y=(x>0)的圖象上,連結(jié)OB、AB,若∠ABO=90°,BA=BO,則k的值為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(4,0),B兩點,與y軸交于點C(0,2),對稱軸x=1,與x軸交于點H.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)直線y=kx+1(k≠0)與y軸交于點E,與拋物線交于點 P,Q(點P在y軸左側(cè),點Q在y軸右側(cè)),連接CP,CQ,若△CPQ的面積為,求點P,Q的坐標;
(3)在(2)的條件下,連接AC交PQ于G,在對稱軸上是否存在一點K,連接GK,將線段GK繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°,使點K恰好落在拋物線上,若存在,請直接寫出點K的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點B和點C的坐標分別為(3,0)、(0,﹣3),拋物線的對稱軸為x=1,D為拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)點E為線段BC上一動點,過點E作x軸的垂線,與拋物線交于點F,求四邊形ACFB面積的最大值,以及此時點E的坐標.
(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PCD為等腰三角形?若存在,寫出點P點的坐標;若不存在,說明理由.
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