Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，矩形的邊，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖2，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，作，垂足為.設(shè)的長(zhǎng)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求與的函數(shù)關(guān)系是（不必寫出的取值范圍），并求出的最大值；

（3）如果點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+，最大值為；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

【解析】

試題分析：（1）由條件可求得A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）可先求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長(zhǎng)，從而可表示出l的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

（3）分AC為邊和AC為對(duì)角線，當(dāng)AC為邊時(shí)，過M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對(duì)稱軸的距離，從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，可求得K的橫坐標(biāo)，從而可求得M的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵矩形OBDC的邊CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得

，

解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；

（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直線OE解析式為y=﹣x，

由題意可得P（m，﹣ m2﹣m+2），

∵PG∥y軸，

∴G（m，﹣m），

∵P在直線OE的上方，

∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，

∵直線OE解析式為y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，

∴當(dāng)m=﹣時(shí)，l有最大值，最大值為；

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為F，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)L，

則∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離為3，

又y=﹣x2﹣x+2，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=﹣1，

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣）或（﹣4，﹣）；

②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣，1），

∵點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣1，

設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此時(shí)y=2，

∴M（﹣2，2）；

綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．