Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，對(duì)角線交于點(diǎn)O，CF垂直AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE∥AC交FC于EF．

（1）求BE的長(zhǎng)：

（2）如圖2，在OB上有一動(dòng)點(diǎn)P，將△AOB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△AOB'，P點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)Q從P點(diǎn)出發(fā)，沿著適當(dāng)路徑先運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)，再沿O′A運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)，再?gòu)?/span>A點(diǎn)沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)至P′點(diǎn)．求Q點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)；

（3）若△ABO以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB向右平移，得到三角形△A1B1O1，當(dāng)A1與點(diǎn)F重合時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在這個(gè)過程中，點(diǎn)O1關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為O″，當(dāng)O″，F，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）1212；（3）t＝2或2或6s

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知邊、已知角，可證得△BCF、△BEF均是一角為30°的直角三角形，繼而可求BE的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，連接CO′交BD于Q，連接AQ，可得Q點(diǎn)的最短路徑＝QO′+O′A +AP′＝CQ+QO′+AO＝CO′+AO′，再根據(jù)勾股定理即可求解；

（3）①當(dāng)點(diǎn)B1與F重合時(shí)，如圖3所示，點(diǎn)O1在BC的中點(diǎn)，△O″FC為等腰三角形，可得t2s；②如圖4所示，當(dāng)FC＝FO″時(shí)，△O″FC為等腰三角形，易證四邊形HO1B1F是平行四邊形，t2s；③如圖5所示，當(dāng)點(diǎn)A1與F重合時(shí)， CF＝CO″，△O″FC為等腰三角形，t＝6s．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，

∴AB＝BC＝8，∠BAC＝∠BCA＝30°，

∵BC∥AD，BE∥AC，

∴∠CBF＝∠DAB＝60°，∠BCA＝∠CBE＝30°，

∵CF⊥BF，

∴∠F＝90°，

∴∠BCE＝∠EBC＝30°，

∴BE＝EC，

在Rt△BCF中，BFBC＝4，

在Rt△BEF中，cos30°，

∴BE＝＝8．

（2）如圖2中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC，

∴A、C關(guān)于BD對(duì)稱，

連接CO′交BD于Q，連接AQ，此時(shí)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑最短，

最短路徑＝QO′+O′A+AP′＝CQ+QO′+AO＝CO′+AO′12＝1212．

（3）①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)B1與F重合時(shí)，點(diǎn)O1在BC的中點(diǎn)，易知AA1AB＝4，

∴t2s．

②如圖4中，當(dāng)FC＝FO″時(shí)，設(shè)FO″交BC于H，易證四邊形HO1B1F是平行四邊形，

FHBC＝4，HO″＝HO1＝B1F＝12﹣4，

∴AA1＝12，t2s．

③如圖5，當(dāng)點(diǎn)A1與F重合時(shí)，CF＝CO″，此時(shí)AA1＝12，t＝6s．

綜上所述，當(dāng)t＝2或2或6s時(shí)，△CFO″是等腰三角形．