Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線(xiàn)，連接AC與⊙O交于點(diǎn) D．取BC的中點(diǎn)E，連接DE，并連接OE交⊙O于點(diǎn)F．連接AF交BC于點(diǎn)G，連接BD交AG于點(diǎn)H．

（1）若EF＝1，BE＝，求∠EOB的度數(shù)；

（2）求證：DE為⊙O的切線(xiàn)；

（3）求證：點(diǎn)F為線(xiàn)段HG的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）∠EOB＝60°；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ABC=90°，解直角三角形得到∠EOB=60°；
（2）連結(jié)OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=∠BDC=90°，求得DE=EC，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得到OE∥AC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到OE⊥BD，得到，求得∠FBD=∠FAB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線(xiàn)，

∴∠ABC＝90°，

在直角三角形OBE中，設(shè)圓O半徑為r，

∵EF＝1，BE＝，則，r2+（）2＝（r+1）2，

解得r＝1，

∴OB＝1，OE＝2，

在Rt△OBE中，cos∠EOB＝,

∴∠EOB＝60°；

（2）連結(jié)OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵E為直角三角形BCD斜邊的中點(diǎn)，

∴DE＝EC，

∴∠CDE＝∠C，

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA+∠CDE＝∠OAD+∠C＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，

∴DE是⊙O的切線(xiàn)；

（3）連接BF，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AFB=90°，即BF⊥AF，

∵O、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，

∴OE∥AC，

∵BD⊥AC，

∴OE⊥BD，

∴，

∴∠DOF=

∵∠BAF=

∴∠BAF=∠DOF,

∵∠DOF=∠DBF，

∴∠DBF=∠BAF，

∵BC是⊙O的切線(xiàn)，

∴∠EBF+∠ABF=90°

∵∠BAF+∠ABF=90°

∴∠EBF=∠BAF

∴∠EBF=∠HBF

∵BF⊥HG，

∴BF垂直平分HG，

即：點(diǎn)F為線(xiàn)段HG的中點(diǎn)．