Question

【題目】銳角△ABC 中，BC＝6，BC 邊上的高 AD＝4，兩動點 M，N 分別在邊 AB，AC 上滑動（M 不與 A、B 重合），且 MN∥BC，以 MN 為邊向下作正方形 MPQN，設其邊長為 x，正方形 MPQN 與△ABC 公共部分的面積為 y（y＞0）．

（1）MN,BC具備什么條件，△AMN∽△ABC；

（2）當 x為何值時，PQ 恰好落在邊 BC 上（如圖 1）；

（3）當 PQ 在△ABC 外部時（如圖 2），求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（注明 x 的取值范圍）并求出 x 為何值時 y 最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）MN∥BC；（2）x＝；（3）當 x＝3 時，y 有最大值，最大值是 6．

【解析】

（1）根據(jù) MN∥BC，得△AMN∽△ABC；(2)因為正方形的位置在變化，但是△AMN∽△ABC 沒有改變，利用相似三角形對應邊上高的比等于相似比，得出等量關(guān)系，代入解析式;(3)用含 x 的式子表示矩形 MEFN 邊長，從而求出面積的表達式．

（1）∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC；

（2）當 PQ 恰好落在邊 BC上時，

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．

∴，

即 ，x＝ ；

（3）設 BC 分別交 MP，NQ 于 E，F(xiàn)，則四邊形 MEFN 為矩形．

設 ME＝NF＝h，AD 交 MN 于 G（如圖 2）GD＝NF＝h，AG＝4﹣h．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

∴，即 ，

∴h＝﹣x+4．

∴y＝MNNF＝x（﹣x+4）＝-x+4x（2.4＜x＜6），

配方得：y＝﹣(x﹣3)+6．

∴當 x＝3 時，y 有最大值，最大值是 6．