Question

【題目】在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“三角形紙片的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學活動．如圖1，現(xiàn)有矩形紙片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm．連接BD，將矩形ABCD沿BD剪開，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不變，將△BCE從圖1的位置開始，繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α＜360°）．在△BCE旋轉(zhuǎn)過程中，邊CE與邊AB交于點F．

（1）如圖2，將圖1中的△BCE旋轉(zhuǎn)到點C落在邊BD上時，CF= ；

（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BCE，當點E落在DA延長線上時，求出CF的長；

（3）在△BCE旋轉(zhuǎn)過程中，連接AE，AC，當AC＝AE時，直接寫出此時α的度數(shù)及△AEC的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）CF=；（3）60° ， 或 300°，．

【解析】

（1）利用即可得,代入計算即可；

（2）易證EF=FB，再在RtBCF中利用勾股定理計算即可求出CF；

（3）分E在C的左右兩邊兩種情況討論。E在C的左邊時，設(shè)EC的中點為G，連接AG，過點A作AH⊥BC于點H．解直角三角形求出AG即可解決問題；E在C的右邊時，取CE的中點G，連接AG，作BH⊥AG于H．求出AG即可解決問題．

（1）∵∠CBF =∠CEB

∴

∴

∵AB＝EC=8，AD＝BC=6

∴

∴

（2）∵BE=BD， BA⊥DE

∴∠DBA=∠EBA

∵ ∠DBA =∠CEB

∴ ∠EBA=∠CEB

∴ EF=FB

設(shè)CF=x，則在RtBCF中，

（8﹣x）2=62+ x2，

解得x=

∴ CF=

（3）E在C左邊時，如圖3中，設(shè)EC的中點為G，連接AG，過點A作AH⊥BC于點H．

∵AC＝AE，EG＝GC，

∴AG⊥EC，

∵∠GCH＝180°﹣∠ECB＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AGC＝∠GCH＝∠AHC＝90°，∴四邊形AGCH是矩形，

∴GC＝AH＝EC＝8＝4

在Rt△ABH中，BH＝＝＝4，

此時

∴=30°

∴α=90-=60°

∵AG＝CH＝BH﹣BC＝4﹣6，

∴S△AEC＝ECAG＝×8×（4﹣6）＝（16﹣24）cm2．

E在C右邊時，如圖4所示，取CE的中點G，連接AG，作BH⊥AG于H．

同法可得：GH＝BC＝6，AH＝4，

∴AG＝AH+GH＝4+6，

∴S△AEC＝ECAG＝×8×（4+6）＝（16+24）cm2．

此時

∴=60°

∴α=360-=30°

綜上所述α=60° 時，S△AEC＝ 或α=300° 時，S△AEC＝．