Question

【題目】在邊長為2的菱形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G、H分別在邊AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)是邊中點(diǎn)時，求證：四邊形是矩形；

（2）如圖2，當(dāng)時，求值；

（3）當(dāng)，且四邊形是矩形時（點(diǎn)不與中點(diǎn)重合），求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）連接、，由菱形的性質(zhì)及三角形的中位線定理證得，，從而可知四邊形是平行四邊形，再由有一個角為直角的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；

（2）連接，由菱形的性質(zhì)及可得，及，從而判定，結(jié)合及菱形的性質(zhì)可得答案；

（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，根據(jù)及菱形的邊長可求得，．設(shè)，則，當(dāng)四邊形是矩形時，，則與相似（三垂直模型），分兩種情況列式計算即可：①，②．

解：（1）連接、，

菱形中，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，

，，

，．

，

，

四邊形是平行四邊形，

，

，

四邊形是矩形；

（2）連接，

菱形中，，

，

，

，

，

又菱形中，，

，

，

，

，

；

（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，

四邊形是矩形，

，

由（2）可知，，

此時，

又菱形邊長為2，

，

，

，

，

．

設(shè)，則，

當(dāng)四邊形是矩形時，，則與相似（三垂直模型）．

①若，

則，

，

解得，（點(diǎn)不與中點(diǎn)重合，舍去）；

②若，

則，

，

解得．

綜上，的長為或．