【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,直線與x 軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是且經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.

(1)①直接寫出點B的坐標;②求拋物線解析式.

(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時點P的坐標.

(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1①B1,024,P(-2,3;3)存在M10,2,M2(-3,2, M32,-3,M45,-18, 使得以點 AM、N為頂點的三角形與△ABC相似.

【解析】試題分析:(1先求的直線y=x+2x軸交點的坐標,然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標;設拋物線的解析式為y=y=ax+4)(x﹣1),然后將點C的坐標代入即可求得a的值;

2)設點P、Q的橫坐標為m,分別求得點P、Q的縱坐標,從而可得到線段PQ=-m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得SPAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值,從而可求得點P的坐標;

3)首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:M點與C點重合,即M0,2)時,△MAN∽△BAC;根據(jù)拋物線的對稱性,當M﹣3,2)時,△MAN∽△ABC; 當點M在第四象限時,解題時,需要注意相似三角形的對應關系.

試題解析:(1①y=x+2

x=0時,y=2,當y=0時,x=﹣4

∴C0,2),A﹣40),

由拋物線的對稱性可知:點A與點B關于x=﹣對稱,

B的坐標為(1,0).

②∵拋物線y=ax2+bx+cA﹣4,0),B1,0),

可設拋物線解析式為y=ax+4)(x﹣1),

拋物線過點C0,2),

∴2=﹣4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2

2)設Pm-m2-m+2).

過點PPQ⊥x軸交AC于點Q,

∴Qm,m+2),

∴PQ=-m2-m+2﹣m+2

=-m2﹣2m,

∵SPAC=×PQ×4

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣m+22+4,

m=﹣2時,△PAC的面積有最大值是4,

此時P﹣2,3).

3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=Rt△BOC中,tan∠BCO=

∴∠CAO=∠BCO,

∵∠BCO+∠OBC=90°,

∴∠CAO+∠OBC=90°,

∴∠ACB=90°,

∴△ABC∽△ACO∽△CBO

如下圖:

M點與C點重合,即M02)時,△MAN∽△BAC

根據(jù)拋物線的對稱性,當M﹣3,2)時,△MAN∽△ABC;

當點M在第四象限時,設Mn,-n2-n+2),則Nn,0

∴MN=n2+n﹣2AN=n+4

時,MN=AN,即n2+n﹣2=n+4

整理得:n2+2n﹣8=0

解得:n1=﹣4(舍),n2=2

∴M2,﹣3);

時,MN=2AN,即n2+n﹣2=2n+4),

整理得:n2﹣n﹣20=0

解得:n1=﹣4(舍),n2=5

∴M5,﹣18).

綜上所述:存在M102),M2﹣32),M32,﹣3),M45,﹣18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.

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2

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4

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6

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8

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