【題目】如圖,在正方形中,的頂點分別在,邊上,高與正方形的邊長相等,連接分別交,于點,,下列說法:;連接,,則為直角三角形;,,則的長為,其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)及HL定理求得Rt△AEBRt△AEG,Rt△AFDRt△AFG,從而求得∠EAB=EAG,∠FAD=FAG,然后求得2EAG+2FAG=90°,從而得到,由此判斷①;

△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°△ABH位置,連接MH,MG,NG,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)根據(jù)結(jié)合SAS定理求得△AHM≌△ANM,得到MN=MH,結(jié)合正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得∠HBM=ABH+ABD=90°,從而可得MH2=HB2+BM2,然后根據(jù)SAS定理求得△ABM≌△AGM,△AND≌△AANG,從而得到BM=GMDN=GN,從而求得MN2=MG2+NG2,由此判斷②;

由垂直可得∠AEG =90°-EAG,然后結(jié)合①中已證∠EAG+FAG=EAG+FAD=45°,可得∠ANM=90°-EAG,由此得到∠AEG =ANM,然后根據(jù)AA定理求得三角形形式,由此判斷③;

旋轉(zhuǎn)△ABE△ADH,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和SAS定理可得得△ABE≌△ADH,△AEF≌△AHF,設(shè)CF=a,在Rt△CEF中,根據(jù)勾股定理列方程求a,從而求得正方形的邊長,設(shè)MN=x,結(jié)合②中的結(jié)論列方程求x的值,從而判斷④.

解:如圖中,

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=AD,∠ABC=ADC=90°,

AGEF,

∴∠AGE=ABC=90°,

Rt△AEBRt△AEG中, ,

Rt△AEBRt△AEG

∴∠EAB=EAG,

同理可證Rt△AFDRt△AFG

∴∠FAD=FAG,

2EAG+2FAG=90°,

∴∠EAG+FAG=45°,

∴∠EAF=45°,故①正確;

如圖②,將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°△ABH位置,連接MH,MGNG

由旋轉(zhuǎn)知:∠BAH=DAN,AH=AN

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=90°,

∵∠EAF=45°,

∴∠BAM+DAN=45°,

∴∠HAM=BAM+BAH=45°,

∴∠HAM=NAM,又AM=AM

∴△AHM≌△ANM,

MN=MH

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ADB=ABD=45°

由旋轉(zhuǎn)知:∠ABH=ADB=45°HB=ND,

∴∠HBM=ABH+ABD=90°,

MH2=HB2+BM2,

MN2=MB2+ND2

又∵AB=AG,∠EAB=EAGAM=AM

∴△ABM≌△AGM

BM=GM

同理可證:△AND≌△AANG

DN=GN

MN2=MG2+NG2

為直角三角形,故②正確;

AGEF

∴∠AEG =90°-EAG

又∵∠ANM=BDA+DAF=45°+DAF

由①可知:∠EAG+FAG=EAG+FAD=45°

∴∠ANM=90°-EAG

∴∠AEG =ANM

又∵

,故③正確;

如圖3中,

旋轉(zhuǎn)△ABE△ADH△ABE≌△ADH

DH=BE=2,

同理②中可證:△AEF≌△AHF,

FH=EF,設(shè)CF=a

CD=CF+DF=a+3,EF=FH=DF+DH=5

∵四邊形ABCD是正方形,

BC=CD=a+3

CE=BC-BE=a+3-2=a+1,

Rt△CEF中,根據(jù)勾股定理得,(a+12+32=25

a=3a=-5(舍),

CF=3,

CD=6,

∴正方形的邊長為6

由正方形ABCD的邊長為6,

BD=CD=6,

由①可知△MAN=45°,

AB=AD,∠BAD=90°

由②得BM2+DN2=MN2,

設(shè)MN=x,

BD=6,BM=

DN=

解得x=,

MN=,故④正確

故選:A

練習冊系列答案
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類別

頻數(shù)

頻率

20

0.3

11

0.22

4

0.08

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A.①③B.①②④C.①④D.①③④

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