Question

【題目】如圖所示，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（其中、為常數(shù)，且）與軸交于點(diǎn)，它的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)，此拋物線頂點(diǎn)到軸的距離為4.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）求的正切值；

（3）如果點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且，試直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)是或

【解析】

（1）先求得拋物線的對(duì)稱軸方程，然后再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點(diǎn)（-3，0）代入求得a的值即可；
（2）先求得A、B、C的坐標(biāo)，然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得到BC、AB、AC的長(zhǎng)，然后依據(jù)勾股定理的逆定理可證明∠ABC=90°，最后，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可；
（3）記拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D．先求得D（1，0），然后再證明∠DBO=∠CAB，從而可證明∠CAO=ABD，故此當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，∠ABP=∠CAO；當(dāng)點(diǎn)P在AB的上時(shí)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥AO，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AO，則PE∥BF．先證明∠EPB=∠CAB，則tan∠EPB=，設(shè)BE=t，則PE=3t，P（-3t，3+t），將P（-3t，3+t）代入拋物線的解析式可求得t的值，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為x=-=-1．
∵a＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下．
又∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，
∴C在x軸的上方，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點(diǎn)（-3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3．
（2）將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，
∴B（0，3）．
∵C（-1，4）、B（0，3）、A（-3，0），
∴BC=，AB=3，AC=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°．
∴．

即的正切值等于.
（3）如圖1所示：記拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D．

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于x=-1對(duì)稱，
∴D（1，0）．
∴tan∠DBO=．
又∵由（2）可知：tan∠CAB=．
∴∠DBO=∠CAB．
又∵OB=OA=3，
∴∠BAO=∠ABO．
∴∠CAO=∠ABD．
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，∠ABP=∠CAO，
∴P（1，0）．
如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在AB的上時(shí)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥AO，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AO，則PE∥BF．

∵BF∥AO，
∴∠BAO=∠FBA．
又∵∠CAO=∠ABP，
∴∠PBF=∠CAB．
又∵PE∥BF，
∴∠EPB=∠PBF，
∴∠EPB=∠CAB．
∴tan∠EPB=.
設(shè)BE=t，則PE=3t，P（-3t，3+t）．
將P（-3t，3+t）代入拋物線的解析式得：y=-x2-2x+3得：-9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．
∴P（-，）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，0）或P（-，）．