【題目】如圖所示,已知在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(其中、為常數(shù),且)與軸交于點(diǎn),它的坐標(biāo)是,與軸交于點(diǎn),此拋物線頂點(diǎn)軸的距離為4.

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)求的正切值;

3)如果點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),且,試直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】1;(2;(3)點(diǎn)的坐標(biāo)是

【解析】

1)先求得拋物線的對(duì)稱軸方程,然后再求得點(diǎn)C的坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為y=ax+12+4,將點(diǎn)(-3,0)代入求得a的值即可;
2)先求得AB、C的坐標(biāo),然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得到BCAB、AC的長(zhǎng),然后依據(jù)勾股定理的逆定理可證明∠ABC=90°,最后,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可;
3)記拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D.先求得D10),然后再證明∠DBO=CAB,從而可證明∠CAO=ABD,故此當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),∠ABP=CAO;當(dāng)點(diǎn)PAB的上時(shí).過(guò)點(diǎn)PPEAO,過(guò)點(diǎn)BBFAO,則PEBF.先證明∠EPB=CAB,則tanEPB=,設(shè)BE=t,則PE=3tP-3t,3+t),將P-3t3+t)代入拋物線的解析式可求得t的值,從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)拋物線的對(duì)稱軸為x=-=-1
a0
∴拋物線開(kāi)口向下.
又∵拋物線與x軸有交點(diǎn),
Cx軸的上方,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).
設(shè)拋物線的解析式為y=ax+12+4,將點(diǎn)(-3,0)代入得:4a+4=0,解得:a=-1,
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3
2)將x=0代入拋物線的解析式得:y=3
B0,3).
C-14)、B03)、A-3,0),
BC=,AB=3,AC=2,
BC2+AB2=AC2
∴∠ABC=90°.

的正切值等于.
3)如圖1所示:記拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于x=-1對(duì)稱,
D10).
tanDBO=
又∵由(2)可知:tanCAB=
∴∠DBO=CAB
又∵OB=OA=3,
∴∠BAO=ABO
∴∠CAO=ABD
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),∠ABP=CAO,
P1,0).
如圖2所示:當(dāng)點(diǎn)PAB的上時(shí).過(guò)點(diǎn)PPEAO,過(guò)點(diǎn)BBFAO,則PEBF

BFAO
∴∠BAO=FBA
又∵∠CAO=ABP,
∴∠PBF=CAB
又∵PEBF
∴∠EPB=PBF,
∴∠EPB=CAB
tanEPB=.
設(shè)BE=t,則PE=3t,P-3t,3+t).
P-3t,3+t)代入拋物線的解析式得:y=-x2-2x+3得:-9t2+6t+3=3+t,解得t=0(舍去)或t=
P-,).
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P10)或P-,).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】問(wèn)題的提出:

如果點(diǎn)P是銳角ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),如何確定一個(gè)位置,使點(diǎn)PABC的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小?

問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:

(1)ΔAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到連接這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問(wèn)題了,請(qǐng)你利用如圖證明:

問(wèn)題的解決:

(2)當(dāng)點(diǎn)P到銳角ABC的三項(xiàng)點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小時(shí),請(qǐng)你用一定的數(shù)量關(guān)系刻畫(huà)此時(shí)的點(diǎn)P的位置:_____________________________;

問(wèn)題的延伸:

(3)如圖是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形,如果斜邊為2,點(diǎn)P是這個(gè)三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)你利用以上方法,求點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

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【題目】如圖,點(diǎn)C在⊙O上,聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交弦AB于點(diǎn)D, ,聯(lián)結(jié)AC、OB,若CD=40,AC=20

(1)求弦AB的長(zhǎng);

(2)求sin∠ABO的值.

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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點(diǎn),連接DF,過(guò)點(diǎn)EEHDF,垂足為H,EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G.

(1)猜想DGCF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)過(guò)點(diǎn)HMNCD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)PMN上一點(diǎn),求△PDC周長(zhǎng)的最小值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)稱軸為直線x=1的拋物線y=ax2+bx+8過(guò)點(diǎn)(﹣2,0).

(1)求拋物線的表達(dá)式,并寫(xiě)出其頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)現(xiàn)將此拋物線沿y軸方向平移若干個(gè)單位,所得拋物線的頂點(diǎn)為D,與y軸的交點(diǎn)為B,與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,過(guò)Bx軸的平行線交所得拋物線于點(diǎn)C,若AC∥BD,試求平移后所得拋物線的表達(dá)式.

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【題目】如圖,ABO的直徑,CO上一點(diǎn),連接AC.過(guò)點(diǎn)BO的切線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,在AD上取一點(diǎn)E,使AEAB,連接BE,交O于點(diǎn)F

請(qǐng)補(bǔ)全圖形并解決下面的問(wèn)題:

1)求證:∠BAE2EBD;

2)如果AB5,sinEBD.求BD的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸相交于點(diǎn),點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn).

1)求該拋物線的表達(dá)式,并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);

2)過(guò)點(diǎn)交拋物線于點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);

3)在(2)的條件下,點(diǎn)在射線上,若相似,求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖拋物線yax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=﹣1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣5,0),則不等式ax2+bx+c0的解集為_____

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【題目】如圖,⊙O的半徑為2,弦BC=2,點(diǎn)A是優(yōu)弧BC上一動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)F,連結(jié)ED.下列四個(gè)結(jié)論:

①∠A始終為60°;

②當(dāng)∠ABC=45°時(shí),AE=EF;

③當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí),ED=;

④線段ED的垂直平分線必平分弦BC.

其中正確的結(jié)論是_____.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)

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